El modelado de problemas

En numerosas ciencias se hace necesario el estudio y análisis de fenómenos del mundo real, y por ello se hace necesaria la aplicación del método científico a este estudio. Una de las fases de aplicación del método científico se basa en la construcción de modelos o formulación de hipótesis. En nuestro caso nos centraremos en la construcción de modelos. 

“Un modelo constituye una representación abstracta de un cierto aspecto de la realidad, y tiene una estructura que está formada por los elementos que caracterizan el aspecto de la realidad modelada y por las relaciones entre estos elementos"

1. La construcción de modelos revela, a veces, relaciones que no son evidentes a primera vista. Este resultado se alcanza gracias al mejor conocimiento del problema que se adquiere cuando se empieza a modelar, al ir obteniendo más información de la realidad del fenómeno que se intenta representar.
2. Una vez construido el modelo matemático, es posible extraer de él propiedades y características de las relaciones entre los elementos que de otra forma permanecerían ocultas. También, es posible representar situaciones complejas que no son admisibles en otro tipo de modelos, y no sólo es esa posibilidad de modelización, sino también la de resolución del mismo, aunque no sea una solución analítica sino numérica (realizada por un ordenador).
3. En la mayoría de las situaciones del mundo real, no es factible experimentar con la realidad, ya que puede ser prohibitivamente caro, peligroso, o imposible. Por ejemplo, si se intenta conocer el impacto de la puesta en practica de una determinada acción de Política Económica en un determinado país. En este caso, para evaluar las consecuencias, se construye un modelo donde se puedan analizar los resultados en diversas situaciones con un coste prácticamente nulo y sin riesgos sociales ni económicos.

• Modelos predictivos: Este tipo de modelos nos informan del comportamiento de la  variable en un futuro, es decir, lo que debería ser. A este tipo de modelos corresponden aquellos basados en técnicas estadísticas y/o de aprendizaje automático, es decir, modelos de previsión.
• Modelos evaluativos: Una técnica evaluativa corresponde a medir las diferentes alternativas, y así poder comparar los resultados de ellas. Un representante típico de este tipo de modelos son los denominados arboles de decisión.
• Modelos de optimización: Se trata de modelos que tratan de identificar un óptimo (por lo general, el óptimo global ) del problema, es decir, buscan la mejor de las alternativas posibles. Estos métodos pueden estar basados en las técnicas de programación matemática, o también en técnicas de optimización poblacional y computacional, por ejemplo.

• Modelos deterministas versus modelos estocásticos. En los modelos deterministas todos los datos del problema se conocen con absoluta certeza, mientras que cuando esto no es así tenemos los modelos estocásticos. Por lo general los modelos más realistas son los modelos estocásticos, pero tienen mayor dificultad para ser resueltos adecuadamente, y muchas de las técnicas aplicables a los modelos estocásticos tratan de reducir el problema a su versión determinista para poderlo resolver.
• Modelos estáticos versus modelos dinámicos. En un modelo estático la variable tiempo no desempeña un papel relevante, mientras que en los modelos dinámicos es una variable fundamental, y de la que dependen las restante variables relevantes. Además, también se puede diferenciar si la variable tiempo se considera como una variable continua o discreta.

1. El tamaño del problema: El número de variables y ecuaciones que contiene. Normalmente, cuanto mayor sea este número, más difícil de resolver es.
2. La clase del problema: Lineal, Entero y No lineal, y además por ese orden, es decir, los problemas lineales son "fácilmente" resolubles, mientras que los no lineales son "intrínsecamente" difíciles de resolver.
3. El tipo de instancias utilizadas: Ciertas o deterministas, con riesgo (conocemos las probabilidades de ocurrencia), con incertidumbre (conocemos los resultados posibles pero no las probabilidades de ocurrencia), y caóticas (no conocemos nada).

Fases del proceso de modelización

Hemos visto algunas ideas generales sobre los modelos. Interesa, ahora, resaltar brevemente cuáles son, en general, las etapas a seguir para llegar a construir un buen modelo:

1. Fase de Conceptualización. Llegar a tener un profundo conocimiento de la realidad que se trata de modelar, es decir, ser capaces de representar conceptualmente el problema sin ningún tipo de contradicciones lógicas ni de errores de análisis.
2. Fase de Formalización. Establecer de forma clara y correcta (desde el punto de vista matemático) las relaciones entre los elementos, de tal forma que, además, sea fácilmente entendible y que puedan detectar rápidamente los errores. El éxito de esta fase depende, obviamente, de que se haya establecido correctamente la fase anterior.
3. Fase de Evaluación. En esta fase, además de establecer la forma en la que debe ser el procedimiento de resolución a emplear, se busca ser capaz de posible interpretarlo correctamente.

1. Análisis del problema. Buscar o intuir los deseos del decisor (a veces no es la misma persona) de forma que se establezca claramente cuál es el objetivo que se persigue, qué limitaciones existen, etc. Todo ello debe tenerse en cuenta aunque no esté formalizado, sino simplemente una relación de las diferentes condiciones.
2. Definición de las variables, es decir, identificar las posibles decisiones. Esta es una de las fases críticas de la modelización, por ello es conveniente prestar mucha atención a esta definición. En esta fase hay que identificar (e interpretar el significado) y denominar a las variables que intervienen. Este segundo aspecto, aunque puede parecer trivial, es también de gran importancia. Hay que denominar a las variables de forma que sean fácilmente reconocibles, es decir, que nos indique qué quieren representar. Muchas veces, se denominan a las variables, por sencillez, x1 , x2 , xb , etc., pero estos nombre no nos informan de forma inmediata acerca de su significado, por ello es conveniente denominarlas de forma más coherente, por ejemplo, si queremos identificar la cantidad de madera necesaria para producir mesas la podríamos denominar MAD_MESA en lugar de x2. La elección del nombre debe ajustarse a las características del decisor, y también a la longitud de caracteres admisibles por los programas de ordenador que resuelven estos problemas, por lo general sería admisible un nombre de hasta ocho caracteres, pero es común sobrepasar esta longitud si se gana en claridad. A la hora de identificar las variables tenemos que tomar en consideración si las variables son deterministas o estocásticas, si son endógenas o exógenas, etc., es decir, ante qué clase de variables vamos a tratar en el problema.
3. Identificación y formalización de las restricciones. Esta es también una fase importante, posteriormente realizaremos algunos comentarios sobre esta fase al hablar de los problemas no lineales. Se trata en definitiva de identificar cuáles son las limitaciones a las que está sujeto el problema, y plantearlas matemáticamente. A veces esto no resulta muy sencillo. En esta fase hay que denominar e identificar a las restricciones con los nombres adecuados, de forma que sea fácil interpretar los resultados obtenidos.
4. Por ultimo, hay que identificar la función objetivo, es decir, la cuantificación de los resultados que se desean alcanzar. Aunque no en todos los problemas es inmediato definir el objetivo, siempre es posible encontrar una función que permita evaluar los resultados de cada una de las acciones.

Reglas básicas de modelización

Los modelos lineales son aquellos en los que tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales y, por tanto, son susceptibles de resolverse a través de  la programación lineal. Estos modelos, son los más conocidos y los más usados en las aplicaciones económicas, y por tanto no vamos a extendernos mucho sobre este aspecto, sino simplemente resaltaremos las hipótesis básicas sobre las que se asientan este tipo de modelos. 

1. Proporcionalidad en las contribuciones. La contribución individual de cada variable es estrictamente proporcional a su valor, y el factor de proporcionalidad es constante para todo el rango de valores que la variable puede tomar.
2. Aditividad de las contribuciones. La contribución total de todas las variables es igual a la suma de las contribuciones individuales independientemente de los valores de las variables.

1. Formular primero un modelo sencillo, e ir agregándole características en consonancia con la dirección de optimización deseada. Un modelo a optimizar debe ser desarrollado buscando un equilibrio razonable entre la seguridad en el modelo (lo que usualmente implica añadir complejidad a la formulación) y la facilidad de optimización. Esto puede conseguirse utilizando un procedimiento de optimización sobre versiones cada vez más complejas del modelo, es decir, en forma de un refinamiento paso a paso. Con ello se consigue que los efectos sobre el modelo de la introducción de mayor complejidad puedan ser de alguna forma visualizados, y poder así descubrir mucho antes las dificultades importantes que si el modelo se plantea de forma directa en su versión más completa. Este procedimiento iterativo de la construcción de modelos está especialmente indicado cuando tenemos que modelar un sistema con algunos subsistemas interconectados, y en los cuales cada uno de ellos requiere extensos cálculos. En el caso particular de los modelos enteros, antes de decidir la construcción de un modelo entero, debe hacerse una estimación del tamaño potencial, ya que si el número de variables enteras es de algunos cientos y el modelo no tiene alguna estructura especial, es probable entonces que el programa entero sea demasiado costoso de resolver. (Conviene resaltar que los problemas enteros son no polinomiales, es decir, que el tiempo de resolución crece de forma exponencial con relación al número de restricciones, pero especialmente con relación al número de variables enteras que contenga el modelo). También en los problemas enteros, si el modelo construido resulta demasiado difícil de resolver por los métodos generales de programación entera, es posible a veces recurrir a los denominados métodos heurísticos que en determinadas ocasiones pueden producir aproximaciones bastante buenas para los problemas de grandes dimensiones.
2. Evitar definir en un modelo funciones que sean el resultado de algún procedimiento iterativo (como la solución de una ecuación diferencial o la resolución de una integral). Las funciones del modelo definidas por un procedimiento iterativo son, a menudo, una fuente de discontinuidades que pueden impedir el avance de los procesos de optimización. La solución de estos subproblemas (aunque sea posible definirla con una precisión total) requiere un considerable esfuerzo computacional, y esto puede considerarse como un despilfarro, dado que la integral, la ecuación diferencial, etc., solo es una aproximación de algún fenómeno social más complicado. Por ello, una estrategia a seguir en este caso consiste en discretizar el problema antes de aplicar el procedimiento de optimización, ya que las soluciones exactas de los problemas continuos se encuentran por refinamientos en la discretización entre las optimizaciones. Como pone de manifiesto esta estrategia se ve, nuevamente, lo valioso de intercalar modelización y optimización, puesto que la obtención de un grado creciente de exactitud es simplemente un proceso de modelización.
3. Tomar con precaución la naturaleza de las restricciones. Es importante analizar la naturaleza de las restricciones que intervienen en el problema con el fin de extraer de ellas sus propiedades para mejorar la eficacia de los métodos de optimización que debemos usar. A la hora de construir un modelo debemos separar las restricciones lineales, no lineales y de acotación, no solo para poder analizar mejor el modelo, sino también para servirnos de orientación acerca del software que debemos usar en cada caso concreto. Debemos evitar la transformación de un tipo de restricciones en otro. La transformación de un problema de una forma a otra era en el pasado, a veces, inevitable cuando los algoritmos para la optimización no restringida eran más numerosos y más efectivos que los algoritmos de optimización restringida. Era una práctica común, por ejemplo, en el caso de las restricciones de acotación el transformarlas mediante un cambio de variable. No obstante, hoy por hoy, esta práctica no es aconsejable y es más bien perjudicial, ya que los algoritmos para problemas con solamente restricciones de acotación simple o de cota generalizada son más eficientes que los algoritmos para problemas no restringidos. Y, además, en la actualidad se tiende a incorporar restricciones de acotación sobre las variables con el fin de acelerar el proceso. En el caso de problemas enteros, realizar un examen en profundidad de la estructura del programa entero puede resultar muy valioso. Puede ser, por ejemplo, un modelo de problema entero puro con una estructura unimodular, y en este caso podría usarse la programación lineal, la cual en un tiempo razonable resuelve un problema con miles de variables y restricciones. Si el problema no tiene una estructura unimodular pero es parecida, seria posible transformarlo, y en este caso siempre podría recurrirse a la literatura y a la experiencia computacional para informarse acerca de la naturaleza y de las dificultades de los problemas con estructura similar.
4. No evitar las restricciones de igualdad. En este caso, no se trata tanto de convertir las restricciones lineales de igualdad en dos restricciones de desigualdad con signos opuestos, sino que se trata más bien de poner de manifiesto una practica que también era habitual antaño. El procedimiento era el siguiente: las variables se dividían en dos conjuntos, las variables "independientes" y las variables "dependientes", de tal modo que la optimización se realizaba únicamente con las variables independientes y las variables dependientes se determinaban al "resolver" las restricciones de igualdad, es decir encontrando la solución a ese sistema de ecuaciones no lineales formado por las variables dependientes una vez hallados los valores de las otras variables. Esta práctica, que como hemos dicho era habitual en el pasado debido a las deficiencias del software, en la actualidad es de todo punto inviable no solo por lo erróneo del procedimiento, sino también porque el esfuerzo computacional que requiere no compensa la realización de la optimización completa.
5. Distinguir entre las restricciones "hard" y "soft". Se denota, por lo general, restricciones "hard" a aquellas restricciones que no es posible violarlas, mientras que por restricciones "soft" se denotan aquellas restricciones en las que está permitido que puedan violarse, si con ello se consigue una mejora sustancial, tanto en el modelo como en el procedimiento de optimización. Por ejemplo, en un modelo de planificación de la producción la disponibilidad de espacio de la planta seria una restricción del tipo "hard",  es decir que no puede violarse, mientras que las disponibilidades de mano de obra no especializada seria una restricción "soft", restricción que podría violarse contratando a nuevos trabajadores a corto plazo. En general, las restricciones "soft" suponen un coste por la violación, por tanto, se trata de evaluar el coste de esa violación en términos de mejora de la función y, por ello, también se introducen variables de desviación para poder evaluar este impacto.
6. Evitar crear modelos que tengan restricciones de igualdad similares, es decir, que sean casi dependientes. El plantear modelos con restricciones que sean muy similares puede provocar que al introducir pequeñas variaciones en los datos del modelo se produzca una distorsión muy grande en los resultados esperados del modelo. Recuérdese que los puntos factibles del modelo se obtienen de la intersección de todas las restricciones, cuando dos restricciones son casi dependientes se convierten en casi paralelas, con lo que ello significa de alteración de las posibles soluciones.
7. Usar toda la información disponible sobre el problema para el escalamiento de las variables y las restricciones. La escala de un problema es la medida de la importancia de las variables y las restricciones, es decir, es una magnitud que nos informa de que es "grande" o "pequeño" en el modelo, es decir, de lo importante o no que puede resultar una variable o una restricción en el conjunto del modelo. Es importante resaltar la trascendencia respecto de la correcta resolución del modelo, el que tanto las variables como las restricciones estén perfectamente escaladas, es decir, esté correctamente ponderada su importancia. Ello significa, tomando como ejemplo una variable, que si el valor que se espera pueda tomar al resolver el modelo tenga un número significativo de dígitos (por ejemplo, la variable representa varios miles de millones de euros) en este caso sería conveniente que en lugar de expresar la variable en euros se expresase en millones de euros, con ello se evita la pérdida de significación que se produce por la necesidad de almacenamiento en los ordenadores. Un caso similar, pero de significado opuesto ocurre cuando la magnitud de la variable es infinitesimal. Por ejemplo, en un problema de mezcla cuando la magnitud de la variable es de orden de 10 [6], en este caso el considerar la variable en su valor normal puede producir errores ya que el ordenador puede considerar este valor, significativo para el análisis, como cero si es inferior a la condición de tolerancia de factibilidad definida, y por ello seria conveniente amplificar su valor tomando el significado de la variable como millonésimas partes. El obviar estas consideraciones puede repercutir negativamente en la exactitud de la solución. Hay que notar que estas transformaciones tendrán un efecto posterior sobre otras magnitudes del la solución, por ello hay que tener la precaución de, una vez resuelto el problema, interpretar correctamente los resultados y las posibles implicaciones.
8. Verificar cuidadosamente todos los datos introducidos en el problema. La introducción de datos es la fuente de la mayoría de los errores que se producen en la resolución de los problemas, por ello habrá que revisar varias veces, y a ser posibles por personas distintas, todos los datos introducidos en el problema, ya que se trata de los errores de más difícil detección y con ello la generación de soluciones no adecuadas al fin perseguido es muy común. 

1. Intentar modelizar con funciones que sean diferenciables. Posiblemente, la propiedad más importante de las funciones en los modelos con respecto a la facilidad de optimización sea la diferenciabilidad, esto es importante ya que la mayoría de los algoritmos están basados sobre el uso de la información disponible en un punto para deducir su comportamiento en otros puntos. Si las funciones del modelo son diferenciables [2] la capacidad de un algoritmo para localizar las soluciones óptimas se ve muy favorecida en comparación con los modelos similares, donde las funciones son no diferenciables. Otra de las ventajas de modelar funciones diferenciables, está relacionada con la convergencia propia de cada algoritmo, así como con la precisión tanto de la función como de la precisión relativa de las máquinas sobre las que se va a resolver el problema.
2. Tratar de obtener la mayor cantidad de información posible sobre la función. De forma que podamos tomar en consideración la mayoría de las propiedades importantes de cara al proceso de optimización posterior. Como ya hemos dicho, una de las propiedades deseables es construir funciones que sean diferenciables, de forma que se puedan usar algoritmos diferenciales en el proceso. Otra de las características importantes a conseguir seria que la función verifique alguna propiedad relacionada con la convexidad, para así poder tener un mayor número de elementos de juicio acerca de la naturaleza y calidad de la solución.
3. Verificar cuidadosamente las funciones del problema, así como una correcta determinación de un punto de partida. Antes de empezar el proceso de optimización con el algoritmo especificado es absolutamente necesario verificar la correcta introducción de las funciones que haya definido el usuario, ya que ello proporciona el error más común.  Tales errores no son nunca pequeños, y ningún algoritmo puede funcionar correctamente ente la presencia de inexactitudes en la evaluación de dichas magnitudes. Asimismo, todos los algoritmos necesitan de un punto de partida para iniciar la búsqueda del óptimo, por ello es vital elegir un buen punto de partida, o mejor dicho, no partir de un mal punto. Podemos denominar puntos de partida "malos" aquellos que producen algún problema en la función, por ejemplo, puntos donde se anula alguna derivada, donde no esta definida la función, etc.

Referencias

Para saber más...

Wikipedia: Modelado Matemático

Wikipedia: Modelado Computacional

Wikipedia: Modelo Científico

Wikipedia: Modelo Físico

Wikipedia: Simulación

JASSS: Why Model? J. M. Epstein (2008)

Coursera: Model Thinking. Scott E. Page