Tema CS4. Sucesiones
(Soluciones de los ejercicios propuestos)

En esta relación se usan las siguientes funciones: define, float,
for...do, if...then...elseif...else, join, makelist, plot2d, rhs,
simplify_sum, solve, solve_rec y sum.

1 Ejercicio 1

Ejercicio 1.1. La sucesión de Fibonacci está definida como
   F[0] = 0,
   F[1] = 1,
   F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

Ejercicio 1.2. Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros
términos de la sucesión de Fibonacci.

Ejercicio 1.3. Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión
de Fibonacci.

Ejercicio 1.4. Calcular el término de posición 20 de la sucesión de
Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

Ejercicio 1.5. Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de
la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables:
a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la
sucesión de Fibonacci.

Ejercicio 1.6. Comprobar si se puede obtener el término 800 de la
sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

2 Ejercicio 2

Ejercicio 2.1. Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la
sucesión (-1)^(k+1)/k!

Ejercicio 2.2. Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

Ejercicio 2.3. Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

Ejercicio 2.4. Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la
serie s[n].

3 Ejercicio 3

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en
N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital
pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

Ejercicio 3.1. Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

Ejercicio 3.2. Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de
K, t y N.

Ejercicio 3.3. Calcular el importe de una anualidad, cuando
K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

4 Ejercicio 4

Ejercicio 4.1. Definir la función f(x) = x/(3-2x).

Ejercicio 4.2. Definir la sucesión u[n] tal que
   u[0] = 2
   u[n+1] = f(u[n])

Ejercicio 4.3. Calcula u[1], u[2] y u[9].

Ejercicio 4.4. Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de
ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

Ejercicio 4.5. Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

Ejercicio 4.6. Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

Ejercicio 4.7. Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

Ejercicio 4.8. Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

Ejercicio 4.9. Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular
su razón.

Ejercicio 4.10. Deducir la expresión de u[n] en función de n.