Tema 5: Definiciones de listas por comprensión

Nota: En este tema se usarán las siguientes librerías

import Data.Char  
import Test.QuickCheck

1 Generadores

Definiciones por comprensión

Definiciones por comprensión en Matemáticas:
$\{x^2 : x \in \{2,3,4,5\}\} = \{4,9,16,25\}$
Definiciones por comprensión en Haskell:

ghci> [x^2 | x <- [2..5]]
[4,9,16,25]

La expresión x <- [2..5] se llama un generador.
Ejemplos con más de un generador:

ghci> [(x,y) | x <- [1,2,3], y <- [4,5]]
[(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)]
ghci> [(x,y) | y <- [4,5], x <- [1,2,3]]
[(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5)]

Generadores dependientes

Ejemplo con generadores dependientes:

ghci> [(x,y) | x <- [1..3], y <- [x..3]]
[(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)]

(concat xss) es la concatenación de la lista de listas xss. Por ejemplo,

concat [[1,3],[2,5,6],[4,7]]  ==  [1,3,2,5,6,4,7]`

concat :: [[a]] -> [a]
concat xss = [x | xs <- xss, x <- xs]

Generadores con variables anónimas

Ejemplo de generador con variable anónima: (primeros ps) es la lista de los primeros elementos de la lista de pares ps. Por ejemplo,

primeros [(1,3),(2,5),(6,3)]  ==  [1,2,6]`

primeros :: [(a, b)] -> [a]
primeros ps =  [x | (x,_) <- ps]

Definición de la longitud por comprensión

length :: [a] -> Int
length xs = sum [1 | _ <- xs]

2 Guardas

Las listas por comprensión pueden tener guardas para restringir los valores.
Ejemplo de guarda:

ghci> [x | x <- [1..10], even x]
[2,4,6,8,10]

(factores n) es la lista de los factores del número n. Por ejemplo,

factores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]`

factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

(primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,

primo 30  == False
primo 31  == True

primo :: Int -> Bool
primo n = factores n == [1, n]

(primos n) es la lista de los primos menores o iguales que n. Por ejemplo,

primos 31  == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31]

primos :: Int -> [Int]
primos n = [x | x <- [2..n], primo x]

Guarda con igualdad

Una lista de asociación es una lista de pares formado por una clave y un valor. Por ejemplo,

[("Juan",7),("Ana",9),("Eva",3)]

(busca c t) es la lista de los valores de la lista de asociación t cuyas claves valen c. Por ejemplo

busca 'b' [('a',1),('b',3),('c',5),('b',2)] ==  [3,2]

busca :: Eq a => a -> [(a, b)] -> [b]
busca c t = [v | (c', v) <- t, c' == c]

3 La función `zip`

La función zip y elementos adyacentes

(zip xs ys) es la lista obtenida emparejando los elementos de las listas xs e ys. Por ejemplo,

ghci> zip ['a','b','c'] [2,5,4,7]
[('a',2),('b',5),('c',4)]

(adyacentes xs) es la lista de los pares de elementos adyacentes de la lista xs. Por ejemplo,

adyacentes [2,5,3,7]  ==  [(2,5),(5,3),(3,7)]

adyacentes :: [a] -> [(a, a)]
adyacentes xs = zip xs (tail xs)

Las funciones zip, and y listas ordenadas

(and xs) se verifica si todos los elementos de xs son verdaderos. Por ejemplo,

and [2 < 3, 2+3 == 5]         ==  True
and [2 < 3, 2+3 == 5, 7 < 7]  ==  False

(ordenada xs) se verifica si la lista xs está ordenada. Por ejemplo,

ordenada [1,3,5,6,7]  ==  True
ordenada [1,3,6,5,7]  ==  False

ordenada :: Ord a => [a] -> Bool
ordenada xs = and [x <= y | (x,y) <- adyacentes xs]

La función zip y lista de posiciones

(posiciones x xs) es la lista de las posiciones ocupadas por el elemento x en la lista xs. Por ejemplo,

posiciones 5 [1,5,3,5,5,7]  ==  [1,3,4]

posiciones :: Eq a => a -> [a] -> [Int]
posiciones x xs = 
    [i | (x',i) <- zip xs [0..n], x == x']
    where n = length xs - 1

4 Comprensión de cadenas

Cadenas y listas

Las cadenas son listas de caracteres. Por ejemplo,

ghci> "abc" == ['a','b','c']
True

La expresión
"abc" :: String
es equivalente a
['a','b','c'] :: [Char]
Las funciones sobre listas se aplican a las cadenas:

length "abcde"              ==  5
reverse "abcde"             ==  "edcba"
"abcde" ++ "fg"             ==  "abcdefg"
posiciones 'a' "Salamanca"  ==  [1,3,5,8]

Definiciones sobre cadenas con comprensión

(minusculas c) es la cadena formada por las letras minúsculas de la cadena c. Por ejemplo,

minusculas "EstoEsUnaPrueba"  ==  "stosnarueba"

minusculas :: String -> String
minusculas xs = [x | x <- xs, elem x ['a'..'z']]

(ocurrencias x xs) es el número de veces que ocurre el carácter x en la cadena xs. Por ejemplo,

ocurrencias 'a' "Salamanca"  ==  4

ocurrencias :: Char -> String -> Int
ocurrencias x xs = length [x' | x' <- xs, x == x']

5 Cifrado César

En el cifrado César cada letra en el texto original es reemplazada por otra letra que se encuentra 3 posiciones más adelante en el alfabeto.
La codificación de
"en todo la medida"
es
"hq wrgr od phglgd"
Se puede generalizar desplazando cada letra n posiciones.
La codificación con un desplazamiento 5 de
"en todo la medida"
es
"js ytit qf rjinif"
La descodificación de un texto codificado con un desplazamiento n se obtiene codificándolo con un desplazamiento -n.

5.1 Codificación y descodificación

Las funciones ord y char

(ord c) es el código del carácter c. Por ejemplo,

ord 'a'  ==  97
ord 'b'  ==  98
ord 'A'  ==  65

(char n) es el carácter de código n. Por ejemplo,

chr 97  ==  'a'
chr 98  ==  'b'
chr 65  ==  'A'

Codificación y descodificación: Código de letra

Simplificación: Sólo se codificarán las letras minúsculas dejando los restantes caracteres sin modificar.
(let2int c) es el entero correspondiente a la letra minúscula c. Por ejemplo,

let2int 'a'  ==  0
let2int 'd'  ==  3
let2int 'z'  ==  25

let2int :: Char -> Int
let2int c = ord c - ord 'a'

Codificación y descodificación: Letra de código

(int2let n) es la letra minúscula correspondiente al entero n. Por ejemplo,

int2let 0   ==  'a'
int2let 3   ==  'd'
int2let 25  ==  'z'

int2let :: Int -> Char
int2let n = chr (ord 'a' + n)

Codificación y descodificación: Desplazamiento

(desplaza n c) es el carácter obtenido desplazando n caracteres el carácter c. Por ejemplo,

desplaza   3  'a'  ==  'd'
desplaza   3  'y'  ==  'b'
desplaza (-3) 'd'  ==  'a'
desplaza (-3) 'b'  ==  'y'

desplaza :: Int -> Char -> Char
desplaza n c 
    | elem c ['a'..'z'] = int2let ((let2int c+n) `mod` 26)
    | otherwise         = c

Codificación y descodificación

(codifica n xs) es el resultado de codificar el texto xs con un desplazamiento n. Por ejemplo,

ghci> codifica   3  "En todo la medida" 
"Eq wrgr od phglgd"
ghci> codifica (-3) "Eq wrgr od phglgd"   
"En todo la medida"

codifica :: Int -> String -> String
codifica n xs = [desplaza n x | x <- xs]

Propiedades de la codificación con QuickCheck

Propiedad: Al desplazar n un carácter desplazado n, se obtiene el carácter inicial.

prop_desplaza n xs = 
    desplaza (-n) (desplaza n xs) == xs

ghci> quickCheck prop_desplaza
+++ OK, passed 100 tests.

Propiedad: Al codificar con -n una cadena codificada con n, se obtiene la cadena inicial.

prop_codifica n xs = 
    codifica (-n) (codifica n xs) == xs

ghci> quickCheck prop_codifica
+++ OK, passed 100 tests.

5.2 Análisis de frecuencias

Tabla de frecuencias

Para descifrar mensajes se parte de la frecuencia de aparición de letras.
tabla es la lista de la frecuencias de las letras en castellano, Por ejemplo, la frecuencia de la 'a' es del 12.53%, la de la 'b' es 1.42%.

tabla :: [Float]
tabla = [12.53, 1.42, 4.68, 5.86, 13.68, 0.69, 1.01, 
          0.70, 6.25, 0.44, 0.01,  4.97, 3.15, 6.71, 
          8.68, 2.51, 0.88, 6.87,  7.98, 4.63, 3.93, 
          0.90, 0.02, 0.22, 0.90,  0.52]

Frecuencias

(porcentaje n m) es el porcentaje de n sobre m. Por ejemplo,

porcentaje 2 5  ==  40.0

porcentaje :: Int -> Int -> Float
porcentaje n m = (fromIntegral n / fromIntegral m) * 100

(frecuencias xs) es la frecuencia de cada una de las minúsculas de la cadena xs. Por ejemplo,

ghci> frecuencias "en todo la medida"
[14.3,0,0,21.4,14.3,0,0,0,7.1,0,0,7.1,
 7.1,7.1,14.3,0,0,0,0,7.1,0,0,0,0,0,0]

frecuencias :: String -> [Float]
frecuencias xs = 
    [porcentaje (ocurrencias x xs) n | x <- ['a'..'z']]
    where n = length (minusculas xs)

5.3 Descifrado

Descifrado: Ajuste chi cuadrado

Una medida de la discrepancia entre la distribución observada $os_i$ y la esperada $es_i$ es
$\chi^2 = \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\frac{(os_i-es_i)^2}{es_i}$
Los menores valores corresponden a menores discrepancias.
(chiCuad os es) es la medida chi cuadrado de las distribuciones os y es. Por ejemplo,

chiCuad [3,5,6] [3,5,6]  ==  0.0
chiCuad [3,5,6] [5,6,3]  ==  3.9666667

chiCuad :: [Float] -> [Float] -> Float
chiCuad os es = 
    sum [((o-e)^2)/e | (o,e) <- zip os es]

Descifrado: Rotación

(rota n xs) es la lista obtenida rotando n posiciones los elementos de la lista xs. Por ejemplo,

rota 2 "manolo"  ==  "noloma"

rota :: Int -> [a] -> [a]
rota n xs = drop n xs ++ take n xs

Descifrado

(descifra xs) es la cadena obtenida descodificando la cadena xs por el antidesplazamiento que produce una distribución de minúsculas con la menor desviación chi cuadrado respecto de la tabla de distribución de las letras en castellano. Por ejemplo,

ghci> codifica 5 "Todo para nada"
"Ttit ufwf sfif"
ghci> descifra "Ttit ufwf sfif"
"Todo para nada"

descifra :: String -> String
descifra xs =  codifica (-factor) xs
 where
  factor = head (posiciones (minimum tabChi) tabChi)
  tabChi = [chiCuad (rota n tabla') tabla | n <- [0..25]]
  tabla' = frecuencias xs

6 Bibliografía

R. Bird. Introducción a la programación funcional con Haskell. Prentice Hall, 2000.
- Cap. 4: Listas.
G. Hutton. Programming in Haskell. Cambridge University Press.
- Cap. 5: List comprehensions.
B. O'Sullivan, D. Stewart y J. Goerzen. Real World Haskell. O'Reilly, 2008.
- Cap. 12: Barcode Recognition.
B.C. Ruiz, F. Gutiérrez, P. Guerrero y J.E. Gallardo. Razonando con Haskell. Thompson, 2004.
- Cap. 6: Programación con listas.
S. Thompson. Haskell: The Craft of Functional Programming, Second Edition. Addison-Wesley, 1999.
- Cap. 5: Data types: tuples and lists.

José A. Alonso Jiménez
Grupo de Lógica Computacional
Dpto. de Ciencias de la Computación e I.A.
Universidad de Sevilla