Librerías auxiliares
import Data.List
import Test.QuickCheck
Presentación del juego
Cifras y letras es un programa de Canal Sur que incluye un juego numérico.
La esencia del juego es la siguiente: Dada una sucesión de números naturales y un número objetivo, intentar construir una expresión cuyo valor es el objetivo combinando los números de la sucesión usando suma, resta, multiplicación, división y paréntesis. Cada número de la sucesión puede usarse como máximo una vez. Además, todos los números, incluyendo los resultados intermedios tienen que ser enteros positivos (1,2,3,...).
Formalización del problema: Operaciones
data Op = Sum | Res | Mul | Div
instance Show Op where
show Sum = "+"
show Res = "-"
show Mul = "*"
show Div = "/"
ops
es la lista de las operaciones.ops :: [Op]
ops = [Sum,Res,Mul,Div]
Operaciones válidas
(valida o x y)
se verifica si la operación o
aplicada a los números naturales x
e y
da un número natural. Por ejemplo,valida Res 5 3 == True
valida Res 3 5 == False
valida Div 6 3 == True
valida Div 6 4 == False
valida :: Op -> Int -> Int -> Bool
valida Sum _ _ = True
valida Res x y = x > y
valida Mul _ _ = True
valida Div x y = y /= 0 && x `mod` y == 0
Aplicación de operaciones
(aplica o x y)
es el resultado de aplicar la operación o
a los números naturales x
e y
. Por ejemplo,aplica Sum 2 3 == 5
aplica Div 6 3 == 2
aplica :: Op -> Int -> Int -> Int
aplica Sum x y = x + y
aplica Res x y = x - y
aplica Mul x y = x * y
aplica Div x y = x `div` y
Expresiones
data Expr = Num Int | Apl Op Expr Expr
instance Show Expr where
show (Num n) = show n
show (Apl o i d) = parentesis i ++ show o ++ parentesis d
where
parentesis (Num n) = show n
parentesis e = "(" ++ show e ++ ")"
ejExpr :: Expr
ejExpr = Apl Mul e1 e2
where e1 = Apl Sum (Num 1) (Num 50)
e2 = Apl Res (Num 25) (Num 10)
Números de una expresión
(numeros e)
es la lista de los números que aparecen en la expresión e
. Por ejemplo,ghci> numeros (Apl Mul (Apl Sum (Num 2) (Num 3)) (Num 7))
[2,3,7]
numeros :: Expr -> [Int]
numeros (Num n) = [n]
numeros (Apl _ l r) = numeros l ++ numeros r
Valor de una expresión
(valor e)
es la lista formada por el valor de la expresión e
si todas las operaciones para calcular el valor de e
son números positivos y la lista vacía en caso contrario. Por ejemplo,valor (Apl Mul (Apl Sum (Num 2) (Num 3)) (Num 7)) == [35]
valor (Apl Res (Apl Sum (Num 2) (Num 3)) (Num 7)) == []
valor (Apl Sum (Apl Res (Num 2) (Num 3)) (Num 7)) == []
valor :: Expr -> [Int]
valor (Num n) = [n | n > 0]
valor (Apl o i d) = [aplica o x y | x <- valor i
, y <- valor d
, valida o x y]
Funciones combinatorias: Sublistas
(sublistas xs)
es la lista de las sublistas de xs
. Por ejemplo,ghci> sublistas "bc"
["","c","b","bc"]
ghci> sublistas "abc"
["","c","b","bc","a","ac","ab","abc"]
sublistas :: [a] -> [[a]]
sublistas [] = [[]]
sublistas (x:xs) = yss ++ map (x:) yss
where yss = sublistas xs
Funciones combinatoria: Intercalado
(intercala x ys)
es la lista de las listas obtenidas intercalando x
entre los elementos de ys
. Por ejemplo,intercala 'x' "bc" == ["xbc","bxc","bcx"]
intercala 'x' "abc" == ["xabc","axbc","abxc","abcx"]
intercala :: a -> [a] -> [[a]]
intercala x [] = [[x]]
intercala x (y:ys) =
(x:y:ys) : map (y:) (intercala x ys)
Funciones combinatoria: Permutaciones
(permutaciones xs)
es la lista de las permutaciones de xs
. Por ejemplo,ghci> permutaciones "bc"
["bc","cb"]
ghci> permutaciones "abc"
["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]
permutaciones :: [a] -> [[a]]
permutaciones [] = [[]]
permutaciones (x:xs) =
concat (map (intercala x) (permutaciones xs))
Funciones combinatoria: Elecciones
(elecciones xs)
es la lista formada por todas las sublistas de xs
en cualquier orden. Por ejemplo,ghci> elecciones "abc"
["","c","b","bc","cb","a","ac","ca","ab","ba",
"abc","bac","bca","acb","cab","cba"]
elecciones :: [a] -> [[a]]
elecciones xs =
concat (map permutaciones (sublistas xs))
Reconocimiento de las soluciones
(solucion e ns n)
se verifica si la expresión e
es una solución para la sucesión ns
y objetivo n
; es decir. si los números de e
es una posible elección de ns
y el valor de e
es n
. Por ejemplo,solucion ejExpr [1,3,7,10,25,50] 765 => True
solucion :: Expr -> [Int] -> Int -> Bool
solucion e ns n =
elem (numeros e) (elecciones ns) && valor e == [n]
Divisiones de una lista
(divisiones xs)
es la lista de las divisiones de xs
en dos listas no vacías. Por ejemplo,ghci> divisiones "bcd"
[("b","cd"),("bc","d")]
ghci> divisiones "abcd"
[("a","bcd"),("ab","cd"),("abc","d")]
divisiones :: [a] -> [([a],[a])]
divisiones [] = []
divisiones [_] = []
divisiones (x:xs) =
([x],xs) : [(x:is,ds) | (is,ds) <- divisiones xs]
Expresiones construibles
(expresiones ns)
es la lista de todas las expresiones construibles a partir de la lista de números ns
. Por ejemplo,ghci> expresiones [2,3,5]
[2+(3+5),2-(3+5),2*(3+5),2/(3+5),2+(3-5),2-(3-5),
2*(3-5),2/(3-5),2+(3*5),2-(3*5),2*(3*5),2/(3*5),
2+(3/5),2-(3/5),2*(3/5),2/(3/5),(2+3)+5,(2+3)-5,
...
expresiones :: [Int] -> [Expr]
expresiones [] = []
expresiones [n] = [Num n]
expresiones ns = [e | (is,ds) <- divisiones ns
, i <- expresiones is
, d <- expresiones ds
, e <- combina i d]
Combinación de expresiones
(combina e1 e2)
es la lista de las expresiones obtenidas combinando las expresiones e1
y e2
con una operación. Por ejemplo,ghci> combina (Num 2) (Num 3)
[2+3,2-3,2*3,2/3]
combina :: Expr -> Expr -> [Expr]
combina e1 e2 = [Apl o e1 e2 | o <- ops]
Búsqueda de las soluciones
(soluciones ns n)
es la lista de las soluciones para la sucesión ns
y objetivo n
calculadas por fuerza bruta. Por ejemplo,ghci> soluciones [1,3,7,10,25,50] 765
[3*((7*(50-10))-25), ((7*(50-10))-25)*3, ...
ghci> length (soluciones [1,3,7,10,25,50] 765)
780
ghci>
length (soluciones [1,3,7,10,25,50] 831)
0
soluciones :: [Int] -> Int -> [Expr]
soluciones ns n = [e | ns' <- elecciones ns
, e <- expresiones ns'
, valor e == [n]]
Estadísticas de la búsqueda por fuerza bruta
ghci> :set +s
ghci> head (soluciones [1,3,7,10,25,50] 765)
3*((7*(50-10))-25)
(8.47 secs, 400306836 bytes)
ghci> length (soluciones [1,3,7,10,25,50] 765)
780
(997.76 secs, 47074239120 bytes)
ghci> length (soluciones [1,3,7,10,25,50] 831)
0
(1019.13 secs, 47074535420 bytes)
ghci> :unset +s
Resultados
Resultado
es el tipo de los pares formados por expresiones válidas y su valor.type Resultado = (Expr,Int)
(resultados ns)
es la lista de todos los resultados construibles a partir de la lista de números ns
. Por ejemplo,ghci> resultados [2,3,5]
[(2+(3+5),10), (2*(3+5),16), (2+(3*5),17), (2*(3*5),30), ((2+3)+5,10),
((2+3)*5,25), ((2+3)/5,1), ((2*3)+5,11), ((2*3)-5,1), ((2*3)*5,30)]
resultados :: [Int] -> [Resultado]
resultados [] = []
resultados [n] = [(Num n,n) | n > 0]
resultados ns = [res | (is,ds) <- divisiones ns
, ix <- resultados is
, dy <- resultados ds
, res <- combina' ix dy]
Combinación de resultados
(combina' r1 r2)
es la lista de los resultados obtenidos combinando los resultados r1
y r2
con una operación. Por ejemplo,ghci> combina' (Num 2,2) (Num 3,3)
[(2+3,5),(2*3,6)]
ghci> combina' (Num 3,3) (Num 2,2)
[(3+2,5),(3-2,1),(3*2,6)]
ghci> combina' (Num 2,2) (Num 6,6)
[(2+6,8),(2*6,12)]
ghci> combina' (Num 6,6) (Num 2,2)
[(6+2,8),(6-2,4),(6*2,12),(6/2,3)]
combina' :: Resultado -> Resultado -> [Resultado]
combina' (i,x) (d,y) =
[(Apl o i d, aplica o x y) | o <- ops
, valida o x y]
Búsqueda combinando generación y evaluación
(soluciones' ns n)
es la lista de las soluciones para la sucesión ns
y objetivo n
calculadas intercalando generación y evaluación. Por ejemplo,ghci> head (soluciones' [1,3,7,10,25,50] 765)
3*((7*(50-10))-25)
ghci> length (soluciones' [1,3,7,10,25,50] 765)
780
ghci> length (soluciones' [1,3,7,10,25,50] 831)
0
soluciones' :: [Int] -> Int -> [Expr]
soluciones' ns n = [e | ns' <- elecciones ns
, (e,m) <- resultados ns'
, m == n]
Estadísticas de la búsqueda combinada
ghci> head (soluciones' [1,3,7,10,25,50] 765)
3*((7*(50-10))-25)
(0.81 secs, 38804220 bytes)
ghci> length (soluciones' [1,3,7,10,25,50] 765)
780
(60.73 secs, 2932314020 bytes)
ghci> length (soluciones' [1,3,7,10,25,50] 831)
0
(61.68 secs, 2932303088 bytes)
Aplicaciones válidas
(valida' o x y)
se verifica si la operación o
aplicada a los números naturales x
e y
da un número natural, teniendo en cuenta las siguientes reducciones algebraicasx + y = y + x
x * y = y * x
x * 1 = x
1 * y = y
x / 1 = x
valida' :: Op -> Int -> Int -> Bool
valida' Sum x y = x <= y
valida' Res x y = x > y
valida' Mul x y = x /= 1 && y /= 1 && x <= y
valida' Div x y = y /= 0 && y /= 1 && x `mod` y == 0
Resultados válidos construibles
(resultados' ns)
es la lista de todos los resultados válidos construibles a partir de la lista de números ns
. Por ejemplo,ghci> resultados' [5,3,2]
[(5-(3-2),4),((5-3)+2,4),((5-3)*2,4),((5-3)/2,1)]
resultados' :: [Int] -> [Resultado]
resultados' [] = []
resultados' [n] = [(Num n,n) | n > 0]
resultados' ns = [res | (is,ds) <- divisiones ns
, ix <- resultados' is
, dy <- resultados' ds
, res <- combina'' ix dy]
Combinación de resultados válidos
(combina'' r1 r2)
es la lista de los resultados válidos obtenidos combinando los resultados r1
y r2
con una operación. Por ejemplo,combina'' (Num 2,2) (Num 3,3) => [(2+3,5),(2*3,6)]
combina'' (Num 3,3) (Num 2,2) => [(3-2,1)]
combina'' (Num 2,2) (Num 6,6) => [(2+6,8),(2*6,12)]
combina'' (Num 6,6) (Num 2,2) => [(6-2,4),(6/2,3)]
combina'' :: Resultado -> Resultado -> [Resultado]
combina'' (i,x) (d,y) =
[(Apl o i d, aplica o x y) | o <- ops
, valida' o x y]
Búsqueda mejorada mediante propiedades algebraicas
(soluciones'' ns n)
es la lista de las soluciones para la sucesión ns
y objetivo n
calculadas intercalando generación y evaluación y usando las mejoras aritméticas. Por ejemplo,ghci> head (soluciones'' [1,3,7,10,25,50] 765)
3*((7*(50-10))-25)
ghci> length (soluciones'' [1,3,7,10,25,50] 765)
49
ghci> length (soluciones'' [1,3,7,10,25,50] 831)
0
soluciones'' :: [Int] -> Int -> [Expr]
soluciones'' ns n = [e | ns' <- elecciones ns
, (e,m) <- resultados' ns'
, m == n]
Estadísticas de la búsqueda mejorada
ghci> head (soluciones'' [1,3,7,10,25,50] 765)
3*((7*(50-10))-25)
(0.40 secs, 16435156 bytes)
ghci> length (soluciones'' [1,3,7,10,25,50] 765)
49
(10.30 secs, 460253716 bytes)
ghci> length (soluciones'' [1,3,7,10,25,50] 831)
0
(10.26 secs, 460253908 bytes)§
Comparación de las búsquedas
Caso 1: Comparación de las búsquedad problema de dados [1,3,7,10,25,50] obtener 765.
Búsqueda de la primera solución:
+---------------------+
| segs. | bytes |
+--------------+-------+-------------+
| soluciones | 8.47 | 400.306.836 |
| soluciones' | 0.81 | 38.804.220 |
| soluciones'' | 0.40 | 16.435.156 |
+--------------+-------+-------------+
+--------+----------------+
| segs. | bytes |
+--------------+--------+----------------+
| soluciones | 997.76 | 47.074.239.120 |
| soluciones' | 60.73 | 2.932.314.020 |
| soluciones'' | 10.30 | 460.253.716 |
+--------------+--------+----------------+
+---------+----------------+
| segs. | bytes |
+--------------+---------+----------------+
| soluciones | 1019.13 | 47.074.535.420 |
| soluciones' | 61.68 | 2.932.303.088 |
| soluciones'' | 10.26 | 460.253.908 |
+--------------+---------+----------------+
Enunciado: Colocar N reinas en un tablero rectangular de dimensiones N por N de forma que no se encuentren más de una en la misma línea: horizontal, vertical o diagonal.
El tablero se representa por una lista de números que indican las filas donde se han colocado las reinas. Por ejemplo, [3,5]
indica que se han colocado las reinas (1,3)
y (2,5)
.
type Tablero = [Int]
reinas n
es la lista de soluciones del problema de las N reinas. Por ejemplo, reinas 4
== [[3,1,4,2],[2,4,1,3]]
. La primera solución [3,1,4,2]
se interpreta como|---|---|---|---|
| | R | | |
|---|---|---|---|
| | | | R |
|---|---|---|---|
| R | | | |
|---|---|---|---|
| | | R | |
|---|---|---|---|
reinas :: Int -> [Tablero]
reinas n = aux n
where aux 0 = [[]]
aux m = [r:rs | rs <- aux (m-1),
r <- ([1..n] \\ rs),
noAtaca r rs 1]
noAtaca r rs d
se verifica si la reina r
no ataca a ninguna de las de la lista rs
donde la primera de la lista está a una distancia horizontal d
.noAtaca :: Int -> Tablero -> Int -> Bool
noAtaca _ [] _ = True
noAtaca r (a:rs) distH = abs(r-a) /= distH &&
noAtaca r rs (distH+1)
Enunciado: Los números de Hamming forman una sucesión estrictamente creciente de números que cumplen las siguientes condiciones:
El número 1 está en la sucesión.
Si x está en la sucesión, entonces 2x, 3x y 5x también están.
Ningún otro número está en la sucesión.
hamming
es la sucesión de Hamming. Por ejemplo,
take 12 hamming == [1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16]
hamming :: [Int]
hamming = 1 : mezcla3 [2*i | i <- hamming]
[3*i | i <- hamming]
[5*i | i <- hamming]
mezcla3 xs ys zs
es la lista obtenida mezclando las listas ordenadas xs
, ys
y zs
y eliminando los elementos duplicados. Por ejemplo,Main> mezcla3 [2,4,6,8,10] [3,6,9,12] [5,10]
[2,3,4,5,6,8,9,10,12]
mezcla3 :: [Int] -> [Int] -> [Int] -> [Int]
mezcla3 xs ys zs = mezcla2 xs (mezcla2 ys zs)
mezcla2 xs ys zs
es la lista obtenida mezclando las listas ordenadas xs
e ys
y eliminando los elementos duplicados. Por ejemplo,Main> mezcla2 [2,4,6,8,10,12] [3,6,9,12]
[2,3,4,6,8,9,10,12]
mezcla2 :: [Int] -> [Int] -> [Int]
mezcla2 p@(x:xs) q@(y:ys) | x < y = x:mezcla2 xs q
| x > y = y:mezcla2 p ys
| otherwise = x:mezcla2 xs ys
mezcla2 [] ys = ys
mezcla2 xs [] = xs