Ejemplos Resueltos de Formalización en LPO
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Todas las plantas tienen flores. Los helechos no tienen flores. Por tanto, los helechos no son plantas.
Solución: $\Sigma = \{P^{(1)}, F^{(1)}, H^{(1)}\}$
$P(x)$ : $x$ es una planta
$F(x)$ : $x$ tiene flores
$H(x)$ : $x$ es un helecho
$$\{\forall x(P(x) \rightarrow F(x)),\ \forall x(H(x) \rightarrow \neg F(x))\}\models \forall x(H(x) \rightarrow \neg P(x))$$
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Los ingleses hablan inglés. Los españoles no son ingleses. Algunos españoles hablan inglés. Por tanto, algunos que hablan inglés no son ingleses.
Solución: $\Sigma = \{I^{(1)}, E^{(1)}, S^{(1)}\}$
$I(x)$ : $x$ es inglés
$E(x)$ : $x$ habla inglés
$S(x)$ : $x$ es español
$$\{\forall x\ (I(x) \rightarrow E(x)),\ \forall x\ (S(x) \rightarrow \neg I(x)),\ \exists x\ (S(x) \wedge E(x))\}\models \exists x\ (E(x) \wedge \neg I(x))$$
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Las aves que vuelan son ligeras y tienen alas grandes. El Pato Donald es un ave. Las alas del Pato Donald son pequeñas. Algunas aves son pesadas y tienen las alas grandes. Por tanto, algunas aves no vuelan.
Solución: $\Sigma = \{A^{(1)}, V^{(1)}, L^{(1)}, G^{(1)}, a\}$
$A(x)$ : $x$ es un ave
$V(x)$ : $x$ vuela
$L(x)$ : $x$ es ligera
$G(x)$ : $x$ tiene alas grandes
$a$ : Pato Donald
$$\{\forall x\ (A(x) \wedge V(x) \rightarrow L(x) \wedge G(x)),\ A(a),\ \neg G(a),\ \exists x\ (A(x) \wedge \neg L(x) \wedge G(x))\}\models \exists x\ (A(x) \wedge \neg V(x))$$
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Algunos hipopótamos son amigos de los pájaros. Cualquier hipopótamo explota a algún pájaro. Cualquiera que explota a un amigo es un impresentable. Por tanto, algunos impresentables son hipopótamos.
Solución: $\Sigma = \{H^{(1)}, P^{(1)}, I^{(1)}, E^{(2)}, F^{(2)}\}$
$H(x)$ : $x$ es un hipopótamo, $E(x, y)$ : $x$ explota a $y$, $P(x)$ : $x$ es un pájaro, $F(x, y)$ : $x$ es amigo de $y$, $I(x)$ : $x$ es impresentable
$$\{\exists x\ (H(x) \wedge \forall y\ (P(x) \rightarrow F(x, y))),\ \forall x\ (H(x) \rightarrow \exists y\ (P(y) \wedge E(x, y))),\ \forall x\ (\exists y\ (F(x, y) \wedge E(x, y)) \rightarrow I(x))\}\\ \models \exists x\ (I(x) \wedge H(x))$$
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Todos los perros persiguen algún gato. Hay gatos que persiguen algún perro. Un gato bien educado jamás persigue perros. A los perseguidores de gatos no les gustan los gatos mal educados. Por tanto, algunos gatos no gustan a ningún perro.
Solución: $\Sigma = \{G^{(1)}, D^{(1)}, E^{(1)}, P^{(2)}, L^{(2)}\}$
$G(x)$ : $x$ es un gato, $P(x, y)$ : $x$ persigue a $y$, $D(x)$ : $x$ es un perro, $L(x, y)$ : a $x$ le gusta $y$, $E(x)$ : $x$ es bien educado
$$\{\forall x\ (D(x) \rightarrow \exists y\ (G(y) \wedge P(x, y))),\ \exists x\exists y\ (G(x) \wedge D(y) \wedge P(x, y)),\\ \forall x\ (G(x) \wedge E(x) \rightarrow \forall y\ (D(y) \rightarrow \neg P(x, y))),\\ \forall x\ (\exists y\ (P(x, y) \wedge G(y))\rightarrow \forall z\ (G(z) \wedge \neg E(z) \rightarrow \neg L(x, z)))\}\\ \models \exists x\ (G(x) \wedge \forall y\ (D(y) \rightarrow \neg L(x, y)))$$
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Formaliza las siguiente sentencias:
- Todo número racional es un número real.
- Algunos números reales son racionales.
- No todo número real es un número racional.
- Entre dos números reales siempre hay un racional.
Solución: $\Sigma = \{R(1), Q(1), M(2)\}$
$R(x)$ : $x$ es un número real
$Q(x)$ : $x$ es un número racional
$M(x, y)$ : $x$ es estrictamente menor que $y$
- $\forall x\ (Q(x) \rightarrow R(x))$
- $\exists x\ (R(x) \wedge Q(x))$
- $\neg \forall x\ (R(x) \rightarrow Q(x))$
- $\forall x\forall y\ (R(x) \wedge R(y) \wedge M(x, y) \rightarrow \exists z\ (Q(z) \wedge M(x, z) \wedge M(z, y)))$
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(Lewis Carroll) Todos los colibríes tienen vivos colores. Ningún pájaro de gran tamaño se alimenta de miel. Los pájaros que no se alimentan de miel tienen colores apagados. Ningún colibrí es grande.
Solución:
$C(x)$ : $x$ es un colibrí, $V(x)$ : $x$ tiene vivos colores, $G(x)$ : $x$ es de gran tamaño, $M(x)$ : $x$ se alimenta de miel
$$\{\forall x\ (C(x) \rightarrow V(x)),\ \neg \exists x\ (G(x) \wedge M(x)),\ \forall x\ (\neg M(x) \rightarrow \neg V(x))\}\models \neg \exists x\ (C(x) \wedge G(x))$$
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(Lewis Carroll) Todos los animales que no cocean son tranquilos. Los asnos no tienen cuernos. Cualquier búfalo puede lanzarlo a uno contra una puerta. Ningún animal que cocea es fácil de engullir. Ningún animal sin cuernos puede lanzarlo a uno contra una puerta. Todos los animales son nerviosos excepto los búfalos. Los asnos no son fáciles de engullir.
Solución:
$C(x)$ : $x$ cocea, $T(x)$ : $x$ es tranquilo, $A(x)$ : $x$ es un asno, $M(x)$ : $x$ tiene cuernos, $B(x)$ : $x$ es un búfalo, $L(x)$ : $x$ puede lanzarlo a uno contra una puerta, $E(x)$ : $x$ es fácil de engullir
$$\{\forall x\ (\neg C(x) \rightarrow T(x)),\ \forall x\ (A(x) \rightarrow \neg M(x)),\ \forall x\ (B(x) \rightarrow L(x)),\\ \neg \exists x\ (C(x) \wedge E(x)),\ \neg \exists x\ (\neg M(x) \wedge L(x)),\ \forall x\ (\neg B(x) \rightarrow \neg T(x))\}\\ \models \forall x\ (A(x) \rightarrow \neg E(x))$$
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Laura quiere a Javier. Laura se dedica a la Informática. Ningún médico se dedica a la Informática. Sólo los médicos quieren a los enfermos. Javier no está enfermo.
Solución: $\Sigma = \{I (1), M(1), E(1), Q(2), a, b\}$, con $I(x)$ : $x$ se dedica a la Informática, $Q(x, y)$ : $x$ quiere a $y$, $M(x)$ : $x$ es médico, $a$ : Laura, $E(x)$ : $x$ está enfermo, $b$ : Javier.
$$\{Q(a, b),\ I(a),\ \neg \exists x\ (M(x) \wedge I(x)),\ \forall x\forall y\ (E(x) \wedge Q(y, x) \rightarrow M(y))\}\models \neg E(b)$$
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Usando la signatura que consideres adecuada formaliza:
- Los 3 axiomas que definen una relación de equivalencia.
- Los 3 axiomas que definen una relación de orden.
Solución:
$R$ es de equivalencia $\Leftrightarrow$ es reflexiva, simétrica y transitiva
$R$ es de orden $\Leftrightarrow$ es reflexiva, antisimétrica y transitiva
Solución: $\Sigma = \{R(2) , =(2)\}$
- Reflexiva: $\forall x\ R(x, x)$
- Simétrica: $\forall x\forall y\ (R(x, y) \rightarrow R(y, x))$
- Transitiva: $\forall x\forall y\forall z\ (R(x, y) \wedge R(y, z) \rightarrow R(x, z))$
- Antisimétrica: $\forall x\forall y\ (R(x, y) \wedge R(y, x) \rightarrow x = y)$
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Formaliza las siguientes sentencias:
- Toda recta pasa al menos por dos puntos distintos.
- Por dos puntos distintos siempre pasa una recta.
- Por dos puntos distintos pasa una sola recta.
Solución: Usaremos el predicado de igualdad y los predicados: $P(x)$ : $x$ es un punto, $L(x)$ : $x$ es una recta, $R(x, y, z)$ : la recta $z$ pasa por los puntos $x$ e $y$
- $\forall x\ (L(x) \rightarrow \exists y\exists z\ (P(y) \wedge P(z) \wedge \neg y = z \wedge R(y, z, x)))$
- $\forall x\forall y\ (P(x) \wedge P(y) \wedge \neg x = y \rightarrow \exists z\ (L(z) \wedge R(x, y, z)))$
- $\forall x\forall y\ (P(x) \wedge P(y) \wedge \neg x = y \rightarrow \exists z\ (L(z) \wedge R(x, y, z) \wedge \forall u\ (L(u) \wedge R(x, y, u) \rightarrow u = z)))$
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En el siglo XIX un demócrata podía ser tanto liberal como socialista. Los liberales aceptaban la revolución industrial y defendían la institución de la propiedad privada de los medios de producción, el establecimiento de una economía de mercado autorregulada y la conversión del trabajo en mercancía. Los socialistas aceptaban también la revolución industrial, pero rechazaban esos tres puntos de la ideología liberal. Los conservadores, por su parte, rechazaban la revolución industrial. De ello se desprende que ni los liberales ni los socialistas eran conservadores, que ningún liberal era socialista y que ningún conservador era demócrata.
Solución: Utilizaremos el lenguaje formado por los siguientes símbolos de predicado: $D(x)$ : $x$ es demócrata, $C(x)$ : $x$ es conservador, $L(x)$ : $x$ es liberal, $S(x)$ : $x$ es socialista, $R(x)$ : $x$ acepta la revolución industrial, $T(x)$ : $x$ defiende los tres puntos de la ideología liberal. Consideramos que los tres puntos de la ideología liberal se refieren a la institución de la propiedad privada de los medios de producción, el establecimiento de una economía de mercado autorregulada y la conversión del trabajo en mercancía.
La formalización es:
$$\{\forall x\ (D(x) \rightarrow L(x) \vee S(x)),\ \forall x\ (L(x) \rightarrow R(x) \wedge T(x)),\ \forall x\ (S(x) \rightarrow R(x) \wedge T(x)),\ \forall x\ (C(x) \rightarrow \neg R(x))\}\\ \models \forall x\ (L(x) \vee S(x) \rightarrow \neg C(x)) \wedge \forall x\ (L(x) \rightarrow \neg S(x)) \wedge \forall x\ (C(x) \rightarrow \neg D(x))$$