**SVRAI** **Introducción a la Lógica Modal** Las partes anteriores de este curso se han centrado en formas muy específicas de interacción multiagente, usando como marcos de formalización dos de los más habituales en la literatura (y profundamente relacionados): **Procesos de Decisión de Markov**, y **Teoría de Juegos**. En este capítulo revisaremos algunos de los escenarios ya vistos pero desde una perspectiva diferente. Examinaremos situaciones de toma de decisiones tanto competitivas como colaborativas, pero desde una perspectiva lógica, utilizando lenguajes formales lógicos no sólo para describir estos escenarios, sino también su dinámica. Las principales herramientas serán variaciones del mismo marco lógico subyacente: la **Lógica Modal**, con la que introducimos esta parte con el fin de que sea lo más autocontenido posible. Realmente, solo rozaremos la superficie de esta aproximación, con la esperanza de que el lector interesado pueda continuar explorando por su cuenta las diversas variantes que se han definido para resolver distintos problemas fundamentales en el área. # Lógica Modal El apelativo de _Modal_ en la Lógica Modal proviene del término _modos_, que en filosofía se refiere a las diferentes _maneras_ en las que las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas. En particular, la Lógica Modal se ocupa de los _modos_ de verdad, tales como _posibilidad_, _necesidad_, _contingencia_ e _imposibilidad_. A pesar de considerarse una Lógica _moderna_, más actual que las habituales Lógica Proposicional y de Primer Orden (o de Predicados), podemos encontrar los orígenes de la Lógica Modal en la Filosofía Griega con filósofos como Aristóteles, quien exploró modalidades en su obra [_De Interpretatione_](https://es.wikipedia.org/wiki/Sobre_la_interpretaci%C3%B3n), y donde distinguía entre lo necesario, lo posible y lo imposible. Durante la Edad Media, filósofos y teólogos como [Pedro Abelardo](https://es.wikipedia.org/wiki/Pedro_Abelardo) y [Tomás de Aquino](https://es.wikipedia.org/wiki/Tom%C3%A1s_de_Aquino) (fuertemente influenciados por Aristóteles) desarrollaron aún más la Lógica Modal, adaptándola a discusiones teológicas sobre la omnisciencia y omnipotencia divina. Durante el Renacimiento, debido a que la lógica aristotélica fue menos influyente, la Lógica Modal experimenta un cierto estancamiento, para renacer en el siglo XX con el desarrollo de la lógica matemática y filósofos como [C.I. Lewis](https://es.wikipedia.org/wiki/Clarence_Irving_Lewis) y [Arthur Prior](https://es.wikipedia.org/wiki/Arthur_Prior). En concreto, Lewis introdujo sistemas formales para la lógica modal en su obra [_Symbolic Logic_](https://archive.org/details/symboliclogic0000lewi_x3c4). Sería ya a mediados del siglo XX, cuando [S. Kripke](https://es.wikipedia.org/wiki/Saul_Kripke) desarrolla la semántica de mundos posibles, una herramienta crucial para la Lógica Modal, e introduce modelos formales que representaban diferentes _mundos_ en los cuales las proposiciones podían ser verdaderas o falsas. Tras esta formalización de la semántica, la Lógica Modal se expande para incluir diversas modalidades más allá de la necesidad y la posibilidad, como las que nombraremos en la siguiente sección. En la actualidad, la Lógica Modal es importante en campos como la Informática Teórica y la Inteligencia Artificial. Se usa en verificación de programas, modelado de sistemas multi-agente y razonamiento sobre conocimiento y creencias. La **Lógica Modal** puede introducirse desde varias perspectivas diferentes, que van desde una visión puramente filosófica hasta la más puramente matemática. Aquí intentaremos ser prácticos, y se introducirá desde una perspectiva semántica, bajo la cual el lenguaje modal se entiende como una herramienta para describir y razonar sobre una clase particular de estructuras lo suficientemente abstractas como para poder reflejar distintas necesidades según su interpretación: los **Modelos Relacionales**. ## Modelos Relacionales Un modelo relacional es esencialmente un grafo, construido a partir de una colección de objetos (el dominio, de los que queremos hablar), y una relación binaria sobre ellos. Además de esta relación, lo que podemos decir acerca de los objetos vendrá formalizado por un lenguaje lógico formal clásico que hace uso de un conjunto de propiedades básicas que estos objetos pueden verificar o no (por ejemplo, usando un lenguaje proposicional o de primer orden, según sea nuestra necesidad expresiva). En lo que sigue, notaremos por $P$ este conjunto de proposiciones atómicas que habla de cada objeto individual. Formalmente, !!!def: Definición (Modelo relacional) Un **modelo relacional** es una tupla $⟨W, R, V⟩$ donde: * $W$ es un **dominio** no vacío (cuyos elementos se denominan genéricamente *mundos*), * $R \subseteq W {\times} W$ es una **relación binaria** sobre $W$ (conectando así unos mundos con otros, escribimos $Rwu$ cuando el par $(w, u)\in R$), y * $V : P → \mathcal{P}(W)$ es una **valoración atómica** (que indica el conjunto de mundos que satisfacen cada una de las proposiciones atómicas de $P$). Los diversos elementos que constituyen un modelo relacional son completamente interpretables, lo que proporciona la maleabilidad que caracteriza a la Lógica Modal y que permite que se utilice en muchos contextos distintos y con distintas intenciones. En especial, puede resultar llamativo el concepto de _mundo_. Cada uno de esos elementos que forman parte del dominio constituyen un mundo independiente en el que se verifican ciertas relaciones lógicas, donde se da la satisfactibilidad de las fórmulas de manera completamente local. En cierta forma, un mundo del dominio podría identificarse (de forma muy pobre, porque es algo más) con una posible valoración proposicional de la que depende la satisfactibilidad de los elementos de $P$, y del resto de fórmulas que podamos construir haciendo uso de esas fórmulas atómicas. Pero no es la única opción y $R$ nos permite introducir una riqueza adicional de la que carecen las lógicas clásicas. Por ejemplo, podemos interpretar los mundos como escenarios alternativos de un mismo universo (mundos posibles, de ahí el uso de la palabra _mundos_ para los objetos del dominio), y las conexiones entre mundos serían posibles evoluciones temporales entre universos posibles. En este segundo escenario, lo que es cierto en un mundo (instante de tiempo) no tiene porqué mantenerse en instantes pasados o futuros (mundos conectados con el actual). De esta forma, obtenemos una forma de modelar posibles evoluciones temporales de un universo concreto (de hecho, es lo que se llamaría una **Lógica Temporal**, que sería un caso particular de Lógica Modal), algo que se antoja complicado en una Lógica clásica. Pero la temporal es uno de los muchos modos en que se puede interpretar la Lógica Modal. Según la interpretación de los diversos elementos podemos encontrar lo que se denominan las **modalidades** de la lógica, donde en cada una de ellas el objetivo de la lógica sigue siendo el mismo: ofrecer una herramienta formal y verificable que nos permita extraer un conocimiento general de los supuestos considerados. Así, podemos encontrar: * **Modalidad Alethica** (**Posibilidad** y **Necesidad**). Trata sobre la posibilidad y la necesidad en el sentido más general y abstracto. Una proposición es **posible** si es verdadera en al menos un mundo posible y es **necesaria** si es verdadera en todos los mundos posibles. Este enfoque se utiliza para analizar y entender qué podría ser verdadero en cualquier circunstancia y qué debe ser verdadero en todas las circunstancias, considerando la estructura lógica y la coherencia de los hechos. * **Modalidad Epistémica** (**Conocimiento** y **Creencia**). Se centra en el conocimiento y la creencia de los agentes. Un enunciado es **posible** epistémicamente si, dado lo que un agente sabe o cree, podría ser verdadero en al menos un mundo posible consistente con ese conocimiento o creencia. Es **necesario** epistémicamente si debe ser verdadero en todos los mundos posibles consistentes con lo que el agente sabe o cree. Esto se utiliza para modelar y razonar sobre las certezas, dudas y conocimiento de los individuos. * **Modalidad Deontica** (**Obligación** y **Permiso**). Aborda las normas, obligaciones y permisos. Una acción está **permitida** si hay al menos un mundo posible donde las normas lo permiten y es **obligatoria** si las normas requieren que se realice en todos los mundos posibles. Este tipo de modalidad es fundamental en la Ética, el Derecho y la Teoría de Decisiones para analizar las obligaciones morales, legales y sociales, así como las permisiones y prohibiciones. * **Modalidad Temporal**. Examina las posibilidades y necesidades a través del tiempo. Un evento es **posible** temporalmente si puede ocurrir en algún punto en el futuro y es **necesario** si ocurrirá en todos los futuros posibles. Este enfoque es crucial en la lógica temporal y en el análisis de eventos y estados a lo largo del tiempo, ayudando a entender la evolución temporal de los sistemas y las predicciones. Las relaciones entre mundos establecerían los diversos mundos futuros alcanzables desde un mundo concreto. * **Modalidad Metafísica**. Considera las posibilidades y necesidades fundamentales sobre la estructura de la realidad. Una proposición es **posible** metafísicamente si puede ser verdadera en algún mundo posible, independientemente de las leyes físicas actuales, y es **necesaria** metafísicamente si debe ser verdadera en todos los mundos posibles. Este tipo de modalidad se utiliza en la filosofía para explorar las cuestiones fundamentales sobre la naturaleza del ser, la existencia y la realidad misma. * **Modalidad Intencional** (**Deseo** y **Preferencia**). Se enfoca en los deseos y preferencias de los agentes. Un estado es **deseable** si cumple con los deseos de un agente en al menos un mundo posible y es **preferido** si es mejor que las alternativas en todos los mundos posibles según las preferencias del agente. Esta modalidad es importante en Teoría de la Decisión, Economía y Psicología para modelar y analizar las decisiones basadas en las preferencias y deseos de los individuos. * **Modalidad Dinámica** (**Accciones** y **Cambios**). Se enfoca en el estudio de las acciones y sus efectos sobre el estado de un sistema. Introducida principalmente para modelar y analizar el comportamiento de computaciones, permite representar y razonar sobre cambios en el conocimiento, las condiciones o los estados a través de operadores modales que describen las posibles transformaciones del sistema. De forma más general, trata con secuencias de acciones y sus consecuencias, ofreciendo una herramienta formal para entender cómo las acciones alteran el mundo y cómo se pueden encadenar para alcanzar ciertos objetivos (planificación, por ejemplo). !!!Ejemplo Podemos crear un ejemplo muy sencillo en el que proyectar los diversos elementos que componen un modelo relacional: Supongamos que queremos razonar sobre posibles características turísticas de algunas ciudades que queremos visitar: _Puebla_, _Amsterdam_, _Riga_, _Copenhague_ e _Innsmouth_. Las propiedades básicas que nos interesan sobre ellas son si tienen hoteles (que representaremos por $h$) y si hay un río que las atraviese (que representaremos por $r$). Además, consideraremos una relación entre dos ciudades $A\to B$ indicando que podemos llegar de $A$ a $B$ por medio de un autobús directo. Con estos elementos, podemos dar la siguiente representación del modelo relacional en forma de grafo etiquetado:  $\quad$ ## Lenguaje Un modelo relacional puede describirse mediante distintos lenguajes. Una posibilidad natural es el Lenguaje de Primer Orden, que permite la cuantificación universal y existencial sin restricciones sobre los objetos del dominio, usando los elementos de $P$ como predicados sobre los objetos y la relación entre mundos como predicado binario. !!!note: Ventajas de la Lógica Modal Como hemos comentado, en teoría, muchos de los conceptos que aborda la lógica modal pueden ser representados en un lenguaje de predicados con predicados binarios adecuados, pero hay diferencias importantes en la práctica y en la forma en que se abordan estos conceptos: 1. **Expresión Natural de Modalidades**: La lógica modal tiene una sintaxis y semántica específicas diseñadas para manejar modalidades como posibilidad y necesidad de manera más directa. Aunque se pueden usar predicados binarios en un lenguaje de primer orden para representar conceptos modales (por ejemplo, utilizando relaciones de acceso entre mundos), la lógica modal proporciona una manera más natural y elegante de hacerlo. Veremos que la sintaxis modal introduce operadores como $□$ (necesidad) y $\Diamond$ (posibilidad) que simplifican la representación y manipulación de estas ideas. 2. **Simplicidad y Claridad**: Usar un lenguaje de predicados con predicados binarios para representar modalidades puede resultar en una formalización mucho más compleja y menos intuitiva. La lógica modal está diseñada para encapsular estas ideas en un formato más comprensible y manejable, facilitando la construcción y análisis de modelos modales. 3. **Semántica de Posibles Mundos**: La lógica modal utiliza la semántica de posibles mundos para interpretar los operadores modales. Esta semántica proporciona una forma clara de entender cómo se relacionan los diferentes mundos y cómo se interpretan las afirmaciones modales en esos mundos. Aunque se puede construir un modelo de posibles mundos en un lenguaje de predicados binarios, la lógica modal tiene una estructura semántica estándar que facilita el trabajo con estos conceptos. 4. **Razonamiento y Decidibilidad**: La lógica modal tiene propiedades específicas de razonamiento y decidibilidad que pueden ser diferentes de las del lenguaje de primer orden con predicados binarios. Por ejemplo, ciertos sistemas modales tienen sistemas de prueba y algoritmos de decidibilidad bien estudiados que pueden ser más complejos de definir y usar con predicados binarios. 5. **Especialización y Herramientas**: La lógica modal tiene desarrolladas herramientas y técnicas especializadas para manejar razonamientos modales, como teoremas y algoritmos específicos. Estas herramientas están adaptadas para trabajar con la estructura y los operadores de la lógica modal, y no siempre se pueden adaptar fácilmente a un marco basado en predicados binarios. 6. **Extensiones y Variantes**: Como hemos visto, la lógica modal tiene muchas extensiones y variantes que están diseñadas específicamente para tratar con diferentes tipos de razonamientos. El marco de la lógica modal ofrece una forma más sistemática y directa de manejar estos distintos tipos de razonamientos. Por ello, aunque se puede usar un lenguaje de Primer Orden con predicados binarios para representar algunos conceptos modales, la lógica modal proporciona una forma más directa, natural y eficaz de trabajar con estos conceptos, ofreciendo un marco específicamente diseñado para capturar y manipular razonamientos modales de manera más intuitiva y estructurada. Por todo ello, la aproximación de la Lógica Modal da aquí una alternativa ligeramente más sencilla, que hace uso de un Lenguaje Proposicional _enriquecido_. !!!side:1 Una alternativa, equivalente, a esta definición sería: El menor conjunto de fórmulas que contiene $P$ y es cerrado bajo $\neg$ (1-aria), $\vee$ (2-aria) y $\Diamond$ (1-aria). !!!def: Definición (Lenguaje Modal) Sea $P$ un conjunto de proposiciones atómicas. Las fórmulas $ϕ$, $ψ$ del lenguaje modal $\mathcal{L}_{\Diamond}$ vienen dadas por la siguiente regla $$ϕ, ψ\ ::=\ p\ |\ ¬ϕ\ |\ ϕ ∨ ψ\ |\ \Diamond ϕ$$ con $p ∈ P$ $^1$. Como es habitual, el símbolo $¬$ se denomina _negación_; el símbolo $∨$, _disyunción_; el símbolo $\Diamond$, _rombo_ (dependiendo de la modalidad, se le da otros nombres específicos). Los lectores familiarizados con la lógica proposicional echarán de menos conectivas binarias como $∧$ (_conjunción_), $→$ (_implicación_) y $↔$ (_doble implicación_), pero estas pueden definirse en función de las que aparecen siguiendo el método habitual: $$ \begin{array}{ll} ϕ ∧ ψ &:= ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ)\\ ϕ → ψ &:= ¬(ϕ ∧ ¬ψ)\\ ϕ ↔ ψ &:= (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) \end{array} $$ Del mismo modo, las constantes lógicas $⊤$ (tautología) y $⊥$ (insatisfactible) pueden definirse como: $$ \begin{array}{ll} ⊤ &:= p ∨ ¬p\\ ⊥ &:= p ∧ ¬p \end{array} $$ Por último, usaremos un nuevo símbolo, _cuadrado_ (también tendrá otros nombres), que es una abreviatura de: $$□ ϕ := ¬ \Diamond ¬ ϕ$$ ## Interpretación Semántica Como es habitual en todas las lógicas, no basta con haber definido una estructura y el lenguaje que queremos utilizar para describirla (_sintaxis_). Todavía tenemos que precisar cuál será el significado de las fórmulas del lenguaje (_semántica_). O lo que es lo mismo, definir formalmente qué entendemos por que una fórmula sea verdadera en una estructura dada. A diferencia de lo que ocurre en otras lógicas, cuando se utiliza el lenguaje modal para describir modelos relacionales se adopta un enfoque particular, ya que no contempla el modelo a vista de pájaro (viendo la estructura completa), sino desde la perspectiva de uno de los objetos (mundos) de su dominio (una visión local). !!!def: Definición (Interpretación semántica) Sea $M = ⟨W, R, V⟩$ un modelo relacional, y un mundo $w ∈ W$. La relación $⊩$, entre el modelo relacional _apuntado_ $(M, w)$ (es decir, un modelo relacional junto con un elemento de su dominio, llamado _punto de evaluación_) y una fórmula $ϕ ∈ L_\Diamond$, se define inductivamente de la siguiente manera: $$ \begin{array}{lll} (M, w) &⊩ p &\Leftrightarrow &w ∈ V(p) \\ (M, w) &⊩ ¬ϕ &\Leftrightarrow &(M, w) ⊮ ϕ\\ (M, w) &⊩ ϕ ∨ ψ &\Leftrightarrow &(M, w) ⊩ ϕ \text{ ó } (M, w) ⊩ ψ\\ (M, w) &⊩ \Diamond ϕ &\Leftrightarrow & \text{ existe } u ∈ W \text{ con } Rwu \text{ y } (M, u) ⊩ ϕ \end{array} $$ Cuando se cumple $(M, w) ⊩ ϕ$, diremos que $ϕ$ es _cierto_ en el mundo $w$ del modelo $M$. !!!note:Notación En lo que sigue haremos un uso abusivo del Lenguaje de Primer Orden, y usaremos los símbolos $\forall$ y $\exists$ para expresar la cuantificación _universal_ e _existencial_ habitual en el metalenguaje. Así, la expresión (de la definición anterior): $$(M, w) ⊩ \Diamond ϕ \Leftrightarrow \text{ existe } u ∈ W \text{ con } Rwu \text{ y } (M, u) ⊩ ϕ$$ será expresada como $$(M, w) ⊩ \Diamond ϕ\quad \Leftrightarrow\quad \exists u ∈ W\ \Big(Rwu \wedge (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Por contexto, no habrá confusión entre el uso metalingüístico de los símbolos lógicos y el uso dentro de las lógicas definidas. Hay algunas cosas que merece la pena destacar de esta definición: * El lenguaje adopta un **punto de vista local** describiendo el modelo desde la perspectiva del punto de evaluación. Esto se debe en parte a que las fórmulas se evalúan en modelos apuntados. De hecho, se podría pensar en el lenguaje como una forma de tomar un conjunto de propiedades básicas que los objetos del dominio podrían, o no, tener (el conjunto $P$), y luego usar conectivas booleanas ($¬$, $∨$, y sus derivados $∧$, $→$ y $↔$) y modalidades ($\Diamond$, y su derivado $□$) para construir propiedades más complejas que podría verificar un mundo. * Los símbolos $¬$ y $∨$ se interpretan semánticamente como cabría esperar, haciendo que se pueda considerar una extensión de la lógica clásica. * Las definiciones de $∧$, $→$ y $↔$ dan los resultados esperados en la semántica estándar. Por ejemplo, en el caso de la conjunción (es igualmente directo verificar los casos $→$ y $↔$ y las constantes lógicas $⊤$ y $⊥$): $$\begin{array}{ll} (M, w) ⊩ ϕ ∧ ψ &\iff (M, w) ⊩ ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ)\\ &\quad\vdots\\ &\iff (M, w) ⊩ ϕ \wedge (M, w) ⊩ ψ \end{array}$$ * El operador $\Diamond$ funciona como un cuantificador existencial, pero no cuantifica sobre todos los mundos del modelo, únicamente sobre aquellos mundos que son alcanzables directamente desde $w$ a través de la relación $R$. * Como consecuencia de este último punto, y como es fácil comprobar, la interpretación semántica de $□$ es $$(M, w) ⊩ □ ϕ \iff \forall u ∈ W\ \Big(Rwu \to (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Así pues, $□$ actúa como un cuantificador universal sobre aquellos mundos que son alcanzables directamente desde $w$ a través de $R$. Veamos algunos ejemplos que muestran algunas características interesantes de los modelos relacionales apuntados: !!!Ejemplo: Evaluación de fórmulas en un modelo apuntado Sea $P = \{p, q\}$ el conjunto de proposiciones atómicas, y consideremos el siguiente modelo relacional apuntado, en el que el mundo con doble círculo indica el punto de evaluación.  De los siguientes conjuntos de fórmulas, $\Sigma_1$ está formado por fórmulas falsas en $(M, w)$, mientras que $\Sigma_2$ está formado por fórmulas verdaderas: $$\begin{array}{ll} \Sigma_1 & =\{p ∧ q,\ □(p ∧ q),\ □ \Diamond ⊤\}\\ \Sigma_2 & =\{\Diamond (p ∧ q),\ \Diamond \Diamond(p ∧ q),\ \Diamond (p ∧ ¬q),\ \Diamond □ ⊥\} \end{array}$$ Algunos casos merecen algún comentario: 1. $□(p∧q)$ es falso en $(M, w)$: la fórmula requiere que $p ∧ q$ sea cierta en todos los mundos alcanzables por $R$ desde el punto de evaluación $w$, pero no es el caso, ya que $p ∧ q$ no es cierto en el propio $w$ (ni en $u$). 2. Por otro lado, $\Diamond \Diamond (p ∧ q)$ se cumple en $(M, w)$ porque la fórmula requiere un sucesor del punto de evaluación en el que se cumple $\Diamond(p ∧ q)$, es decir, un sucesor del punto de evaluación en el que hay un sucesor en el que se cumple $p ∧ q$. El modelo punteado $(M, w)$ satisface el requisito, de hecho de dos formas distintas. Partiendo de $w$, se puede llegar a $v$, donde $p ∧ q$ se cumple, por dos caminos: $(Rwu + Ruv)$ o $(Rww + Rwv)$. 3. Para $□ \Diamond ⊤$, consideremos primero lo que requiere $\Diamond ⊤$: hay un sucesor donde $⊤$ se verifica. Pero $⊤$ se cumple siempre, así que en realidad $\Diamond ⊤$ sólo requiere la existencia de un sucesor. Así, al evaluar $□ \Diamond ⊤$ en $(M, w)$, se nos pide que comprobemos que todos los sucesores de $w$ tienen sucesores. Pero no es cierto, ya que $Rwv$ y $v$ no tiene sucesores. Por tanto, $□ \Diamond ⊤$ es falso en $w$. 4. Para $\Diamond □ ⊥$ se puede seguir una estrategia similar, y analizar primero qué pide $□ ⊥$: se cumple cuando todos los sucesores del mundo actual satisfacen $⊥$. Pero $⊥$ es falso en todas partes, por lo que $□ ⊥$ es cierto sólo cuando el mundo actual no tiene sucesores. Entonces, $\Diamond □ ⊥$ es cierto si hay algún sucesor de $w$ que no tiene sucesores. Lo que es cierto gracias a $v$. !!!note:Nota Obsérvese que, aprovechando la semántica de $\Diamond$, tenemos interpretaciones interesantes para dos fórmulas muy simples, que nos hablan sobre la conectividad de los mundos de evaluación: $$\begin{array}{ll} □ ⊥: & \text{El mundo no tiene sucesores}\\ \Diamond ⊤:& \text{El mundo tiene sucesores} \end{array}$$ !!!Ejemplo: Encontrar modelos apuntados para fórmulas Vamos a construir un modelo relacional en el que la fórmula $\Diamond(p ∧ q) ↔ (\Diamond p ∧ \Diamond q)$ se cumpla en uno de sus modelo apuntados y falle en otro. Para ello, tengamos en cuenta el siguiente modelo relacional:  Si tomamos $w$ como punto de evaluación, entonces claramente, $\Diamond p ∧ \Diamond q$ se cumple en $(M, w)$ (porque $w$ tiene un sucesor, $u$, en el que se cumple $p$, y también un sucesor, $v$, en el que se cumple $q$). Sin embargo, $\Diamond (p ∧ q)$ falla en $(M, w)$ (porque ninguno de los sucesores de $w$ verifican simultáneamente $p$ y $q$). Por lo tanto, la implicación $(\Diamond p ∧ \Diamond q) → \Diamond(p ∧ q)$ es falsa en $(M, w)$. En consecuencia, también lo es la doble implicación $\Diamond (p ∧ q) ↔ (\Diamond p ∧ \Diamond q)$. Si tomamos $u$ como punto de evaluación, entonces $\Diamond (p ∧ q)$ es falso en $(M, u)$ (porque $u$ no tiene sucesores). Por tanto, la implicación $\Diamond (p ∧ q) → (\Diamond p ∧ \Diamond q)$ se cumple en $(M, u)$ (recuérdese: una implicación se cumple cuando su antecedente es falso o cuando su consecuente es verdadero). Análogamente, $\Diamond p ∧ \Diamond q$ falla en $(M, u)$, y por tanto la implicación $(\Diamond p ∧ \Diamond q) → \Diamond(p ∧ q)$ se cumple en $(M, u)$. A partir de estas dos implicaciones, tenemos que la doble implicación $\Diamond(p ∧ q) ↔ (\Diamond p ∧ \Diamond q)$ se cumple en $(M, u)$. !!!warn:Ejercicio En el ejemplo anterior hemos visto que, en general, $\Diamond(p ∧ q) ↔ (\Diamond p ∧ \Diamond q)$ es falsa en un modelo punteado. ¿Puedes decir si alguna de las dos implicaciones por separado es cierta siempre? !!!ejemplo: Encontrar fórmulas que caracterizan mundos en un modelo Consideremos el siguiente modelo relacional:  La prgunta que nos hacemos ahora es, ¿podemos encontrar fórmulas que caractericen cada mundo del modelo? Más concretamente, ¿podemos encontrar, para cada mundo $w_1$, $w_2$, $w_3$ y $w_4$, una fórmula que sea verdadera en él pero falsa en todos los demás? Dos de esos mundos se distinguen inmediatamente de todos los demás: * El mundo $w_2$ es el único mundo del modelo en el que $p$ falla y $q$ se cumple. Por tanto, una fórmula caracterizadora es $χ_{w_2} := ¬p∧q$. * Análogamente, $w_3$ es el único mundo del modelo en el que tanto $p$ como $q$ se cumplen. Por tanto, una fórmula caracterizadora es $χ_{w_3} := p ∧ q$. Los otros dos mundos restantes, $w_1$ y $w_4$, no pueden distinguirse entre sí únicamente mediante fórmulas proposicionales (es decir, las que implican sólo átomos y conectivas booleanas), pero pueden distinguirse mediante fórmulas que utilizan modalidades: * $w_4$ es el único mundo del modelo que no tiene sucesores. Por tanto, una fórmula caracterizadora es $χ_{w_4} : = □ ⊥$. * $w_1$ es el único mundo del modelo que satisface las dos condiciones siguientes: sólo hace verdadero $p$, y no es $w_4$. Por tanto, aprovechando la fórmula que caracteriza a $w_4$ podemos escribir una fórmula caracterizadora es $χ_{w_1} := p∧¬q∧¬χ_{w_4} = p ∧ ¬q ∧ ¬ □ ⊥$. Consideremos ahora el siguiente modelo relacional:  ¿Podemos encontrar ahora fórmulas que caractericen cada mundo del modelo? Después de ver el caso anterior, dos mundos en este nuevo modelo son inmediatamente distinguibles de todos los demás: $w_4$ es el único en el modelo sin sucesores (así, $χ_{w_4} : = □ ⊥$), y $w_1$ es el único mundo que es diferente de $w_4$ y en el que se cumple $p$ ($χ_{w_1} := p ∧ ¬χ_{w_4} = p ∧ ¬ □ ⊥$). Ahora bien, ¿qué pasa con $w_2$ y $w_3$? !!!warn:Ejercicio En el ejemplo anterior, analizar los casos para $w_2$ y $w_3$. Independientemente de la respuesta concreta que se dé al ejercicio anterior, la pregunta formulada plantea una preocupación más general: ¿cuál es la expresividad del lenguaje modal $\mathcal{L}_\Diamond$? En otras palabras, ¿qué puede decir $\mathcal{L}_\Diamond$? !!!Ejemplo Si consideramos los modelos relacionales siguientes:  ¿Podemos encontrar una fórmula en $\mathcal{L}_\Diamond$ que sea verdadera en un modelo apuntado, pero falsa en el otro? En otras palabras, ¿puede $\mathcal{L}_\Diamond$ distinguir entre el modelo apuntado de la izquierda y el de la derecha? La respuesta es **NO**. Obviamente, no podemos recorrer todas las fórmulas de $\mathcal{L}_\Diamond$ para demostrar que ninguna de ellas tiene valores de verdad diferentes en los dos modelos apuntados, así que se necesita algo más sofisticado. He aquí un argumento, todavía informal, pero convincente: A partir de la interpretación semántica, está claro que el único operador del lenguaje que permite analizar mundos distintos al punto de evaluación es $\Diamond$. Pero, para ello, este otro mundo tiene que ser alcanzable desde el punto de evaluación (quizá en un paso, quizá en varios). Este no es el caso en los modelos anteriores, donde los únicos mundos que los distinguen, $w_1$ y $w'_1$, no son alcanzables desde los puntos de evaluación, $w_2$ y $w'_2$. Por ello, ninguna fórmula en $\mathcal{L}_\Diamond$ puede distinguir entre $(M, w_2)$ y $(M', w'_2)$ (en el sentido de que la fórmula sea cierta en uno pero no en otro). Por lo tanto, este simple ejemplo muestra que el lenguaje $\mathcal{L}_\Diamond$ no es lo suficientemente expresivo como para ver mundos que están _detrás_ del punto de evaluación. Para resolver este problema podemos dar la siguiente extensión del lenguaje: !!!def:Definición (Modalidad inversa) Sea $M = ⟨W, R, V⟩$ un modelo relacional, y $w ∈ W$. Se define la modalidad _existencial inversa_, $\Diamond^{-1}$, como sigue ($ϕ$ es una fórmula cualquiera): $$(M, w) ⊩ \Diamond^{-1} ϕ \iff \exists u ∈ W\ \Big(Ruw \wedge (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Su modalidad _dual_, $□^{-1}$, se define como $□^{-1} ϕ := ¬ \Diamond^{-1} ¬ϕ$. !!!teorema:Lema Es fácil probar que: $$(M, w) ⊩ □^{-1} ϕ \iff \forall u ∈ W\ \Big(Ruw \to (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Observa que esta nueva modalidad $\Diamond^{-1}$ permite buscar mundos a los que se puede llegar siguiendo la relación en sentido inverso. !!!Ejemplo Haciendo uso de $\Diamond^{-1}$ es fácil encontrar una fórmula que distinga entre los dos modelos apuntados del ejemplo anterior: $$(M,w_2) ⊩\Diamond^{-1}p \qquad,\qquad (M',w'_2)\nVdash \Diamond^{-1}p$$ ¿Existen otros problemas de _visibilidad_? !!!Ejemplo Consideremos ahora los dos modelos apuntados siguientes:  ¿Puede $\mathcal{L}_\Diamond$ distinguir entre el modelo apuntado de la izquierda y el de la derecha? En caso negativo, ¿puede $\mathcal{L}_{\Diamond,\Diamond^{-1}}$? La respuesta es, en ambos casos, **NO**. Una vez más, no podemos repasar todas las fórmulas de los lenguajes dados para desmotrarlo, pero podemos dar un argumento informal convincente: Los únicos operadores en $\mathcal{L}_{\Diamond,\Diamond^{-1}}$ que permiten mirar a mundos distintos del punto de evaluación son $\Diamond$ y $\Diamond^{-1}$ (o sus duales). Pero estos operadores sólo pueden mirar mundos a los que se llega siguiendo las conexiones que establece la relación (en cualquier dirección, sea directa o inversa). Pero esto no es suficiente para distinguir los dos modelos apuntados, ya que la única diferencia entre ellos es la existencia de un mundo, en el primero de los modelos, que está completamente aislado del punto de evaluación. Así que ninguna fórmula en $\mathcal{L}_{\Diamond,\Diamond^{-1}}$ (y por tanto ninguna fórmula en $\mathcal{L}_\Diamond$) puede diferenciar entre estos modelos apuntados. Así pues, este simple ejemplo muestra que el lenguaje $\mathcal{L}_{\Diamond,\Diamond^{-1}}$ no es suficientemente expresivo para ver mundos a los que no se puede llegar desde el punto de evaluación por medio de la relación, independientemente de la dirección considerada. Podemos, de nuevo, dar una extensión más que intenta resolver este _problema_: !!!def: Definición (Modalidad Global) Sea $M = ⟨W, R, V⟩$ un modelo relacional y $w ∈ W$. La modalidad _existencial global_, $E$, se define como: $$(M, w) ⊩ E ϕ \iff \exists u ∈ W\ \Big((M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Su modalidad _dual_, $U$, _universal global_, se define como $U ϕ := ¬ E ¬ϕ$. !!!teorema:Lema Es fácil probar que: $$(M, w) ⊩ U ϕ \iff \forall u ∈ W\ \Big((M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Esta nueva modalidad permite mirar cualquier mundo del modelo dado, independientemente de que sea accesible o no desde el punto de evaluación. !!!ejemplo Ahora es fácil encontrar una fórmula que distinga entre los dos modelos apuntados del ejemplo anterior. Por ejemplo, $E p$ se cumple en el modelo apuntado de la izquierda, pero no en el modelo apuntado de la derecha. Pero, una vez más, ¿hemos resuelto todos los problemas de _visibilidad_? !!!warn:Ejercicio Consideremos los dos modelos apuntados siguientes:  ¿Puede $\mathcal{L}_{\Diamond}$ distinguir entre el modelo apuntado de la izquierda y el de la derecha? En caso negativo, ¿puede $\mathcal{L}_{\Diamond,\Diamond^{-1}}$? En caso negativo, ¿puede $\mathcal{L}_{\Diamond,\Diamond^{-1},E}$? # Aplicación a Preferencias Como indicamos en la introducción, los modelos relacionales pueden utilizarse para representar diversas situaciones: * Por ejemplo, según la interpretación **alethica** tradicional, los elementos del dominio se entienden como posibles estados de mundos posibles. La relación pretende indicar qué mundos son posibles a partir de uno dado, y la valoración $V$ indica cuáles son las propiedades de cada uno de los mundos posibles. En consecuencia, en el lenguaje modal básico $\mathcal{L}_\Diamond$, los operadores modales $\Diamond$ y $□$ se leen, respectivamente, como operadores de _posibilidad_ y _necesidad_. * Bajo una interpretación **temporal**, el modelo representa diferentes etapas, junto con su posición temporal. Los elementos del dominio son momentos de tiempo, y $R$ puede entenderse como la relación _futura_, que indica qué momento de tiempo sucede a cada uno (no es único, los momentos de tiempo podrían bifurcarse ofreciendo varias alternativas futuras). * Bajo una interpretación **epistémica**, el modelo representa el conocimiento que un agente tiene sobre el estado del mundo. Los elementos del dominio siguen siendo mundos posibles, pero ahora $R$ es la relación de indistinguibilidad epistémica del agente, que indica los mundos que el agente no puede distinguir del actual. Una interpretación adicional que también se ajusta a modelos de agentes es la de las **preferencias**. En tal caso, mientras que el dominio se convierte en un conjunto de objetos de algún modo abstracto, la relación $R$, probablemente mejor escrita como $≼$, se entiende como una descripción de preferencias _débiles_ sobre tales objetos, con $w ≼ u$ indicando que _el objeto $w$ es, como mucho, tan bueno como el objeto_ $u$. La valoración se convierte entonces en una forma de describir las propiedades básicas de los objetos dados. Bajo esta interpretación, se suele exigir que la relación $≼$ sea al menos **reflexiva** y **transitiva**. Por supuesto, se pueden añadir otros requisitos, como ser **total**, y **antisimétrica**. Como en otros casos ampliamente conocidos, a partir de esta relación, se pueden definir otras relaciones: * _al menos tan bueno como_: $\quad w ≽ u\quad :=\quad u ≼ w$ * _exactamente tan bueno como_: $\quad w ≅ u\quad :=\quad w ≼ u \wedge u ≼ w$ * _estrictamente peor que_: $\quad w ≺ u\quad :=\quad w ≼ u \wedge u \npreceq w$ * _estrictamente mejor que_: $\quad w ≻ u\quad :=\quad u ≺ w$ * _es comparable a_: $\quad w ∼ u\quad :=\quad w ≼ u \vee u ≼ w$ Para describir tales estructuras, se puede utilizar el mismo lenguaje modal de antes, con un cambio en la notación del operador modal para enfatizar su nueva interpretación. Las fórmulas del lenguaje de preferencias $\mathcal{L}_{⟨≼⟩}$ (los ángulos simulan al rombo) vienen dadas por: $$ϕ, ψ ::= p\ |\ ¬ϕ\ |\ ϕ ∨ ψ\ |\ ⟨≼⟩ ϕ$$ Como antes, podemos añadir, $[≼] ϕ := ¬ ⟨≼⟩ ¬ϕ$ (los corchetes simulan al cuadrado). En consecuencia, !!!teorema:Lema $$(M, w) ⊩ ⟨≼⟩ ϕ \iff \exists u ∈ W\ \Big(w ≼ u \wedge (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ $$(M, w) ⊩ [≼] ϕ \iff \forall u ∈ W\ \Big(w ≼ u \to (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Así, mientras que $(M, w) ⊩ ⟨≼⟩ ϕ$ indica que hay (al menos) un $ϕ$-objeto (es decir, que satisface $ϕ$) que es al menos tan bueno como $w$, $(M, w) ⊩ [≼] ϕ$ indica que todos los objetos que son al menos tan buenos como $w$ son $ϕ$-objetos. !!!note:Notación: $ϕ$-objetos En este contexto, y dada una fórmula $ϕ$ (que recordemos que puede entenderse como una propiedad que pueden tener los objetos), será útil denotar el conjunto de objetos que satisfacen dicha fórmula como: $$⟦ϕ⟧^M := \{w ∈ W |\ (M, w) ⊩ ϕ\}$$ ## Preferencias sobre conjuntos Hemos visto que un modelo de preferencia proporciona un orden de preferencia $≼$ sobre objetos. A partir de él también podríamos estar interesados en estudiar y razonar sobre un ordenamiento $≼$ sobre conjuntos de elementos de $W$ (la notamos igual porque no hay posibilidad de confusión). Debemos tener en cuenta que hay diversas maneras de tratar las preferencias sobre conjuntos de objetos. Una de ellas es suponer que esta relación sobre conjuntos ya está dada, y entonces podríamos preguntarnos por las propiedades que debería satisfacer (reflexividad y transitividad suelen ser requisitos estándar, ser total y antisimétrica es adicional). Pero también cabe preguntarse cómo se comporta esa preferencia con respecto a las operaciones sobre conjuntos. Por ejemplo, dados $U_1, U_2, V ∈\mathcal{P}(W)$, * ¿Implica $U_1 ≼ U_2$ que $(U_1 ∪ V) ≼ (U_2 ∪ V)$ (es decir, añadir elementos preserva la preferencia)? * ¿$(U_1 ∪ V) ≼ (U_2 ∪ V)$ implica $U_1 ≼ U_2$ (es decir, eliminar elementos preserva la preferencia)? * ¿Implica $U_1 ≼ U_2$ que $(W\setminus U_1) ≽ (W\setminus U_2)$ (es decir, el complementario invierte la preferencia)? * ¿Implica $|U_1| ⩽ |U_2|$ que $U_1 ≼ U_2$ (es decir, cuanto más, mejor)? * ... Otra posibilidad es definir la preferencia sobre conjuntos en términos de la preferencia dada sobre objetos. Por ejemplo, podríamos estar interesados en decidir a partir de $w ≼ u_1$ y $w ≼ u_2$ si $\{w\} ≼ \{u_1, u_2\}$ o $\{u_1, u_2\} ≼ \{w\}$. Por supuesto, hay varias maneras diferentes de hacerlo. !!!side:2 Como es habitual: $w = min_{≼} V \iff \forall v ∈ V\ (w ≼ v)$. Incluso bajo los supuestos de reflexividad y transitividad para $≼$, el objeto $mín_{≼} V$ podría no estar correctamente definido. En general, podría haber un conjunto de elementos $≼$-mínimos. Este conjunto podría tener más de un elemento (si $≼$ no es antisimétrico), e incluso podría estar vacío (si $≼$ no es total). Por ejemplo, decidir que el conjunto $U_1$ es a lo sumo tan bueno como el conjunto $U_2$ si y sólo si el $≼$-peor objeto de $U_1$ es a lo sumo tan bueno como el $≼$-peor objeto de $U_2$ $^2$: $$U_1 ≼ U_2\quad := \quad min_{≼} U_1 ≼ min_{≼} U_2$$ Entre las muchas posibilidades, las cuatro siguientes se basan en el uso de cuantificaciones básicas (nos referimos a los objetos del dominio como mundos): * $ϕ ≼_{∃∃} ψ \iff \exists w\in ⟦ϕ⟧^M\ \exists u \in ⟦ψ⟧^M\ \Big(w ≼ u\Big)$. * $ϕ ≼_{∀∃} ψ \iff \forall w\in ⟦ϕ⟧^M\ \exists u \in ⟦ψ⟧^M\ \Big(w ≼ u\Big)$. * $ϕ ≼_{∃∀} ψ \iff \exists w\in ⟦ϕ⟧^M\ \forall u \in ⟦ψ⟧^M\ \Big(w ≼ u\Big)$. * $ϕ ≼_{∀∀} ψ \iff \forall w\in ⟦ϕ⟧^M\ \forall u \in ⟦ψ⟧^M\ \Big(w ≼ u\Big)$. Como ya se ha mencionado, se han introducido lenguajes formales para describir y razonar sobre los modelos dados. Por lo tanto, no sólo estamos interesados en discutir si un modelo dado codifica cierta información adicional (en este caso, la forma en que la preferencia sobre mundos que proporciona el modelo, $≼$, define diferentes formas de preferencia sobre conjuntos de mundos). También nos interesa discutir si esta información adicional puede describirse mediante el lenguaje elegido. En este caso, la cuestión es si cada una de estas cuatro formas de preferencia sobre propiedades puede expresarse mediante una fórmula en $\mathcal{L}_{⟨≼⟩}$. Un rápido vistazo a los casos anteriores nos muestra que $\mathcal{L}_{⟨≼⟩}$ no es suficiente para expresar ninguna de estas preferencias: todas hablan de _algún_ o _cada_ $ϕ$-mundo ($ψ$-mundo), pero en $\mathcal{L}_{⟨≼⟩}$ sólo podemos hablar de aquellos mundos a los que se puede llegar por la relación $≼$ desde el punto de evaluación. Así, por ejemplo, en el siguiente modelo apuntado, $\mathcal{L}_{⟨≼⟩}$ no es suficiente para hablar del mundo situado más a la izquierda cuando se utiliza el del centro como punto de evaluación.  Como muestran las definiciones de $≼_{∃∃}$, $≼_{∀∃}$, $≼_{∃∀}$ y $≼_{∀∀}$, necesitamos una forma de hablar de cualquier mundo posible en el modelo, independientemente de cuál sea nuestro punto de evaluación. El lenguaje $\mathcal{L}_{⟨≼⟩,E}$ extiende $\mathcal{L}_{⟨≼⟩}$ con la herramienta precisa para hacerlo: la modalidad existencial global, $E$, que vimos en la sección anterior. !!!teorema:Lema Dentro de $\mathcal{L}_{⟨≼⟩,E}$ existen fórmulas que caracterizan las dos primeras preferencias sobre propiedades, $≼_{∃∃}$ y $≼_{∀∃}$. Concretamente: * Para cualquier modelo $M$ y cualquier mundo $w$ en él, $$(M, w) ⊩ E(ϕ ∧ ⟨≼⟩ ψ) \iff ϕ ≼_{∃∃} ψ$$ En otras palabras, $E(ϕ ∧ ⟨≼⟩ ψ)$ es verdadera en un mundo $w$ del modelo $M$ si y sólo si, en $M$, hay un $ϕ$-mundo que es como máximo tan bueno como algún $ψ$-mundo. * Para cualquier modelo $M$ y cualquier mundo $w$ en él, $$(M, w) ⊩ U(ϕ → ⟨≼⟩ ψ) \iff ϕ ≼_{∀∃} ψ$$ En otras palabras, $U(ϕ → ⟨≼⟩ ψ)$ es verdadero en un mundo $w$ del modelo $M$ si y sólo si, en $M$, todo $ϕ$-mundo es como máximo tan bueno como algún $ψ$-mundo. !!!warn:Ejercicio ¿Qué ocurre con las otras dos ordenaciones sobre conjuntos de mundos, $≼_{∃∀}$ y $≼_{∀∀}$? Podemos encontrar fórmulas en $\mathcal{L}_{⟨≼⟩,E}$ que los caractericen? En caso afirmativo, ¿cuáles? Si no, ¿qué más necesitamos en el lenguaje? # Lógica Modal Extendida Aunque en los apartados anteriores hemos visto algunas extensiones _naturales_ de la lógica modal (por medio de operadores inversos y modificando la alcanzabilidad de los mundos), veremos ahora otras dos ampliaciones. La primera consiste en permitir más de una relación en el modelo, y la segunda trata de una forma específica de combinarlas. ## Modelos multirrelacionales Hasta ahora hemos hablado de modelos relacionales en los que existe una única relación binaria entre los elementos del dominio. Pero es habitual que los escenarios sobre los que queramos razonar tengan más de una relación binaria. Estos **modelos multirrelacionales** $M = ⟨W, R_1, \dots , R_n, V⟩$ son estructuras basadas de nuevo en un conjunto no vacío de mundos ($W$), un conjunto de propiedades atómicas, $P$, y también una valoración $V$ que indica el conjunto de mundos que satisfacen cada una de las propiedades básicas en $P$. Sin embargo, en lugar de una única relación binaria $R$, hay múltiples: $R_1, R_2, \dots$, todas ellas, en principio, independientes entre sí. Trabajar con modelos multirrelacionales no cambia la esencia de nuestros objetivos, lo único que cambia es el lenguaje, ya que nos gustaría ser precisos sobre cuál es la relación que estamos utilizando para buscar los sucesores requeridos. Para ello, eliminamos la modalidad $\Diamond$ del lenguaje y la sustituimos por la colección $\{\Diamond_1, \dots, \Diamond_n\}$, que contiene una modalidad $\Diamond_i$ (a veces, escrita como $⟨i⟩$) para cada relación $R_i$ del modelo. Las fórmulas de este nuevo lenguaje, $\mathcal{L}_{\Diamond_1,\dots,\Diamond_n}$, se interpretan sobre modelos multirrelacionales puntuales. Las fórmulas que este nuevo lenguaje comparte con el lenguaje modal básico $\mathcal{L}_{\Diamond}$ se interpretan exactamente igual que antes; para las nuevas fórmulas, las que incluyen modalidades índices, la interpretación semántica es la esperada: hacemos lo mismo que antes, asegurándonos además de que estamos siguiendo la relación adecuada. $$(M, w) ⊩ \Diamond_i ϕ \iff \exists u ∈ W\ \Big(R_iwu \wedge (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Si se define la modalidad dual $□_i$ como $□_iϕ := ¬\Diamond_i¬ϕ$, entonces se tiene que: $$(M, w) ⊩ □_iϕ \iff \forall u ∈ W\ \Big(R_iwu \to (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ !!!ejemplo:Evaluación de fórmulas en un modelo apuntado Sea $P =\{p, q\}$ el conjunto de proposiciones atómicas, y considérese el siguiente modelo relacional punteado $M = ⟨W, R_a, R_b, R_c, V⟩$.  De los dos conjuntos siguientes, el primero contiene fórmulas falsas $(M, w)$, y el segundo son verdaderas: $$\begin{array}{ll} \Sigma_1 = & \{\Diamond_a¬p,\ \Diamond_c¬p,\ □_bp\}\\ \Sigma_2 = & \{\Diamond_b¬p,\ □_ap,\ □_cp,\ □_a\Diamond_bp,\ \Diamond_b□_ap,\ \Diamond_b□_a¬p\} \end{array}$$ ## Intersecciones La herramienta que presentamos ahora será útil cuando utilicemos fórmulas modales para caracterizar conceptos de solución de la teoría de juegos. Con el lenguaje $\mathcal{L}_{\Diamond_1,\dots,\Diamond_n}$ podemos hablar de propiedades de mundos a los que se puede llegar desde el punto de evaluación mediante algunas combinaciones de las relaciones existentes. Por ejemplo, una fórmula de la forma $\Diamond_ap ∨ \Diamond_bp$ está afirmando esencialmente que, desde el punto de evaluación, podemos alcanzar un $p$-mundo mediante la unión de las relaciones $R_a$ y $R_b$. Pero no son posibles otro tipo de combinaciones. Por ejemplo, no es posible hablar de mundos alcanzables mediante la intersección de dos (o más) relaciones. !!!Ejemplo Consideremos el modelo apuntado del ejemplo anterior. Desde el punto de evaluación $w$, la intersección de las relaciones $R_a$ y $R_b$ nos lleva al propio mundo $w$, ya que hay una flecha con ambas etiquetas $a$ y $b$ que empieza en $w$ y termina en $w$. ¿Existe alguna fórmula en $\mathcal{L}_{\Diamond_1,\dots,\Diamond_n}$ que caracterice esto? * Un primer intento de encontrar tal fórmula podría ser $\Diamond_ap ∧ \Diamond_bp$, pero esta fórmula no funciona. En el modelo multirrelacional apuntado a continuación, la fórmula es verdadera y, sin embargo, no hay ningún $p$-mundo al que se pueda llegar desde el punto de evaluación mediante la intersección de $R_a$ y $R_b$.  * Otro intento podría ser la fórmula $\Diamond_a\Diamond_bp$, pero de nuevo esta fórmula no funciona. En el modelo multirrelacional apuntado a continuación, la fórmula es verdadera, y de nuevo, no hay ningún $p$-mundo al que se pueda llegar desde el punto de evaluación mediante la intersección de $R_a$ y $R_b$.  $\quad$ De hecho, se puede demostrar que no existe ninguna fórmula en $\mathcal{L}_{\Diamond_1,\dots,\Diamond_n}$ que caracterice el hecho de que un mundo sea alcanzable mediante la intersección de dos relaciones. Más concretamente, no existe ninguna fórmula $χ_ϕ^{∩_{i,j}} ∈ \mathcal{L}_{\Diamond_1,\dots,\Diamond_n}$ tal que, para cada modelo multirrelacional punteado $(M, w)$ con $M = ⟨W, R_1, \dots, R_n, V⟩$ y toda fórmula $ϕ ∈ \mathcal{L}_{\Diamond_1,\dots,\Diamond_n}$, se tenga que $$(M, w) ⊩ χ_ϕ^{∩_{i,j}} \iff \exists u ∈ W\ \Big(R_iwu \wedge R_jwu \wedge(M, u) ⊩ ϕ\Big)$$ Así, para expresar el hecho de que un mundo es alcanzable mediante la intersección de dos relaciones, necesitamos ampliar el lenguaje una vez más, y lo haremos añadiendo una operación de intersección $∩$ que sólo puede utilizarse dentro de las modalidades. Este operador nos permite construir fórmulas de la forma $⟨i ∩ j⟩ ϕ$, cuya interpretación semántica se define exactamente como lo que buscábamos: $$(M, w) ⊩ ⟨i ∩ j⟩ ϕ \iff \exists u ∈ W\ \Big(R_iwu \wedge R_jwu \wedge (M, u) ⊩ ϕ\Big)$$