**Teoría de Juegos Cooperativos** SVRAI
Fernando Sancho Caparrini --- ## Introducción !!!Tip Un grupo de agentes con diferentes habilidades debe decidir cómo dividirse en subgrupos para gestionar el mayor número posible de tareas de la manera más eficiente. Como los agentes deben cooperar entre sí para formar coaliciones y no pueden decidir unilateralmente con quién se aliarán, se conocen como **Juegos Cooperativos**. * La mayoría de la producción de Teoría de Juegos se centra en los juegos no cooperativos (con aplicaciones en economía y empresa). * Pero, al construir SMA, los juegos cooperativos parecen más útiles: modelan el problema de asignación de tareas y establecen unos mínimos de comunicación, coordinación y acuerdo entre los agentes. * La cooperación y la necesidad de redes autoorganizadas, descentralizadas y autónomas, llevan a buscar herramientas adecuadas de Teoría de Juegos para analizar y estudiar el comportamiento y las interacciones de los elementos. --- * La **Teoría de Juegos No Cooperativos** estudia las elecciones estratégicas de las interacciones entre agentes que compiten entre sí. Cada agente elige su estrategia de forma independiente para mejorar su propio rendimiento (**utilidad**) o reducir sus pérdidas (**costes**). * Herramientas: **conceptos de solución** y tipos de **equilibrio**. * La **Teoría de Juegos Cooperativos** estudia el comportamiento de los agentes racionales cuando cooperan. * **Juegos Coalicionales**: Una de sus ramas describe la formación de grupos de agentes que cooperan, **coaliciones**, que pueden fortalecer sus posiciones en el juego. * Otros tipos de juegos cooperativos, como los **juegos de negociación**. !!!note: Características generales de los juegos de coalición: * Se parte de un conjunto de agentes y se estudian los incentivos a formar subgrupos. * Los acuerdos entre las posibles coaliciones son de obligatorio cumplimiento. * Las dos preguntas fundamentales son: qué coaliciones se formarían que respeten los acuerdos, y qué utilidad recibirán sus participantes. --- # Juegos Coalicionales ---  Diseñan estrategias de cooperación justas, robustas, prácticas y eficientes, y habitualmente se agrupan en: 1. Clase I: **Juegos Canónicos**. 2. Clase II: **Juegos de Formación**. 3. Clase III: **Juegos de Grafos**. !!!def:Definición (Juegos Coalicionales) Un **Juego coalicional** es un par $(N,v)$ dado por un conjunto $N=\{1,\dots,n\}$ de agentes y una función $v$ que mide el **valor de la coalición** (o **función característica**): 1. **Juego con Utilidad Transferible** (**UT**): Si $v : \mathcal{P}(N) \to \mathbb{R}$. 2. **Juego con Utilidad No Transferible** (**UNT**): Si $v$ devuelve un conjunto de vectores de retribución, $v(S)\subseteq \mathbb{R}^{|S|}$. --- !!!Tip:Ejemplos 1. **Compartir beneficios**: personas con talentos complementarios pueden unirse para un proyecto. No es obvio cómo, dada una coalición, se repartirían los beneficios entre los que la forman. 2. **Simples**: $v(S) \in \{0, 1\}$. $S$ es ganadora si $v(S)= 1$. Ejemplo: juegos de votación. Cons. Seg. ONU: $v(S) = 1 ⇔ |S|\geq 9$ y $\{USA, Francia, UK, China, Rusia\}⊆ S$. 3. **Voto mayoritario por pesos** (es una caso particular de juego simple): $q\geq 0$, $w \in \mathbb{R}_+^n$ y $v(S) = 1⇔ \sum_{i∈ S}w_i\geq q$. Parlamento inglés: $650$ miembros. 3 partidos que votan en bloque $|P_1|=282$, $|P_2|=260$, y $|P_3|=108$. Como ningún partido tiene una mayoría absoluta, $v(P_1) = v(P_2) = v(P_3) = 0$. Cualquier coalición de dos o tres partidos puede pasar una proposición. Sistema de votación por pesos: $q = 326$, y $w = (282, 260, 108)$. 4. **Asignación de costos**: se necesita construir una nueva pista en un aeropuerto. La pregunta fundamental es cómo cobrarle a los diferentes vuelos por la utilización de la pista teniendo en cuenta el uso que hacen de ella y las necesidades que tienen (en este caso lo agentes son los diferentes vuelos). --- ### UT * En la forma más común, $v(S)$ depende únicamente de los miembros de esa coalición, no de $N \setminus S$. * La propiedad UT implica que $v(S)$ puede dividirse entre los miembros de la coalición (por ejemplo, por distribución equitativa). * Lo que recibe $i\in S$ de $v(S)$ es el **pago del agente**, $x_i$. * El vector $x\in \mathbb{R}^S$ es la retribución de $i\in S$: **asignación de retribución**. !!! $A^B=\{f:B\to A\}$, en particular, $\mathbb{R}^S$ representa el conjunto de todas las funciones reales sobre el conjunto $S$, es decir, el conjunto de vectores de retribución alcanzables por el agente en $S$. --- !!!Tip: Ejemplo $1$ produce $8+\frac{1}{3}$ ton. de cereal. $2$ produce $16+\frac{2}{3}$ ton. En el mercado nacional, cuando se venden menos de $20$ ton., se pagan a $1200€$ cada una, y para ton. mayores el pago es de $2000€$. $3$ puede ser intermediario entre agricultores y una empresa internacional que paga la ton. a $3200€$, aunque el mínimo de ton. es $20$. Si $1$ y $2$ se unen a $3$ para vender, la situación se plantea como un juego cooperativo donde $N = \{1, 2, 3\}$ y para cada $S \subseteq N$, $v(S)$ es el monto obtenido por la venta del cereal cuando los agentes en $S$ intervienen en la negociación: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c} S & \{1\} & \{2\} & \{3\} & \{12\} & \{13\} & \{23\} & \{123\} \\ \hline v(S)& 10K& 20K& 0& 50K& 0& 0& 80K \end{array} $$ El problema es repartir el monto obtenido por la venta entre los tres agentes. --- ### UNT * Aunque **UT** puede modelar una amplia gama de juegos, existen muchos escenarios en los que el valor de la coalición no puede asignarse a un único número real, o existen restricciones insalvables en la distribución de la utilidad. Para estos casos está **UNT**. * En **UNT**, $v(S)$, ya no es una función real, sino un conjunto de vectores de retribución, $v(S)\subseteq \mathbb{R}^S$, donde para cada $x\in v(S)$, $x_i$ representa una retribución que el agente $i\in S$ puede obtener dentro de la coalición $S$. * Un juego UT puede verse como un caso particular del marco UNT. !!! **UT** corresponden a situaciones donde los agentes pueden transferirse la utilidad de lo que puedan recibir de participar en una coalición (por ejemplo, valores monetarios, un bien divisible, etc.). **UNT** son por ejemplo la reputación, influencia política, etc. --- ### Particiones **Juegos en forma de Partición**: Interés en juegos donde el valor de una coalición depende de la partición de $N$ que se forma con la coalición: depende también de cómo se agrupan los agentes en $N \setminus S$. !!!Tip Como ejemplo de la diferencia entre las formas características y de partición, consideremos un juego de cinco agentes, $N=\{1, 2, 3, 4, 5\}$, y sea $S_1=\{1, 2, 3\}$, $S_2=\{4\}$, $S_3=\{5\}$ y $S_4=\{4, 5\}$. Dadas dos particiones, $\mathcal{B}_1=\{S_1, S_2, S_3\}$ y $\mathcal{B}_2=\{S_1, S_4\}$ de $N$, la evaluación del valor de la coalición $S_1$ depende de la forma del juego: 1. Si el juego está en forma característica, entonces $v(S_1,\mathcal{B}_1) = v(S_1,\mathcal{B}_2) = v(S_1)$, 2. Si está en forma de partición $v(S_1, \mathcal{B}_1)$ y $v(S_1, \mathcal{B}_2)$ no tienen porqué coincidir. A diferencia de la forma característica, el valor de $S_1$ en la forma de partición depende de si los agentes $4$ y $5$ están en la misma coalición o no (cooperan o no). --- ### Grafos  En muchos juegos coalicionales, los agentes están interconectados y se comunican a través de enlaces particulares que dotan de estructura de grafo al conjunto. En tales escenarios, tanto la forma característica como la forma de partición pueden ser inadecuadas ya que en ambas formas el valor de una coalición es independiente de cómo estén conectados sus miembros. **Juegos coalicionales en Forma de Grafo**: dado un juego coalicional $(N, v)$ y un grafo $G_S$ (dirigido o no) con vértices en $S\subseteq N$, el valor de $S$ en forma de grafo viene dado por $v(G_S)$. Para los juegos en forma de grafo, el valor también puede depender del grafo $G_{N \setminus S}$ que interconecta a los agentes que no están en $S$. --- # Clase I: Juegos Canónicos --- Para clasificar un juego como canónico, los principales requisitos son: 1. El juego coalicional está en forma característica (UT o UNT). 2. La cooperación, es decir, la formación de grandes coaliciones, nunca es perjudicial para ninguno de los agentes implicados. Por lo tanto, en los juegos canónicos ningún grupo de agentes puede obtener peores resultados cooperando. Esto se debe a la **propiedad de superaditividad**. 3. Bajo las condiciones del punto anterior, el principal objetivo de un juego canónico es estudiar las propiedades y la estabilidad de la **gran coalición** (la coalición de todos los agentes del juego), y estudiar las ganancias resultantes de la cooperación con un coste despreciable o nulo, así como la distribución de estas ganancias de forma justa entre los agentes. --- !!!def:Definición (Superaditividad) Un juego coalicional, $(N,v)$, se dice **superaditivo** si verifica: $$\forall S_1,S_2\subseteq N, S_1\cap S_2=\emptyset\ \Rightarrow \{x\in \mathbb{R}^{|S_1\cup S2|}:\ (x_i)_{i\in S_1} \in v(S_1), (x_j)_{j\in S_2}\in v(S_2)\}\subset v(S_1 \cup S_2)$$ Con notación de sumas de conjuntos: $\forall S_1,S_2\subseteq N, S_1\cap S_2=\emptyset\ \Rightarrow v(S_1)+v(S_2)\subset v(S_1 \cup S_2)$ Para un juego UT: $\forall S_1,S_2\subseteq N, S_1\cap S_2=\emptyset\ (v(S_1 \cup S_2)\geq v(S_1)+ v(S_2))$ !!! Un juego es superaditivo si la cooperación, es decir, la formación de una coalición a partir de coaliciones disjuntas, garantiza, al menos, el valor que obtienen las coaliciones disjuntas por separado. Por tanto, la cooperación siempre es beneficiosa: es beneficioso para todos formar **la gran coalición** ($N$). Por ello, en los juegos canónicos son importantes dos aspectos: 1. **Estabilidad**: encontrar una asignación de pagos que garantice que ningún grupo de agentes tenga incentivos para abandonar la gran coalición, y 2. **Justicia**: evaluar las ganancias que puede obtener la gran coalición así como los criterios de equidad que deben utilizarse para distribuir estas ganancias. --- ## El Núcleo Relacionado con la estabilidad de la gran coalición. !!!def:Definición (Imputación) Para un juego UT, una **imputación** es un vector de pagos, $x\in \mathbb{R}^N$, para la gran coalición que satisface: 1. Es **grupalmente racional**: $\sum_{i\in N} x_i =v(N)$. 2. Es **individualmente racional**: $x_i\geq v(\{i\})$, $\forall i \in N$ (el beneficio en $N$ es mayor que solo). !!!def:Definición (Núcleo UT) Imputaciones en las que ninguna coalición tiene incentivo para rechazar la asignación de pagos propuesta por $N$ y formar otra: $C_{UT} =\{x :\ \sum_{i\in N} x_i =v(N)\ \wedge\ \forall S\subseteq N\ (\sum_{i\in S}x_i \geq v(S))\}$ El núcleo garantiza que no se produzcan desviaciones porque cualquier asignación de beneficios que esté en el núcleo garantiza, al menos, una cantidad de utilidad igual a $v(S)$ para cada $S\subset N$. Por tanto, si el núcleo no es vacío, entonces la gran coalición es una solución estable y óptima para el juego. ---  !!!def:Definición Para resolver los juegos UNT utilizando el núcleo, se suele suponer que $v$ satisface: 1. $v(S)$ es un subconjunto cerrado y convexo de $\mathbb{R}^S$. 2. $v(S)$ es **comprehensivo**, es decir: $\forall x\in v(S)\ \forall y\in \mathbb{R}^S\ (y\leq x \rightarrow y\in v(S))$. 3. El conjunto $\{x\in v(S):\ \forall i\in S\ (x_i\geq z_i)\}\subset \mathbb{R}^S$ es acotado ($z_i=\max\{y_j:\ y\in v(\{i\})\}\le \infty$). **Comprehensión**: si los miembros de una coalición pueden conseguir una determinada asignación de pagos, entonces, cambiando sus estrategias, pueden conseguir cualquier asignación *menor*. La última: para una coalición $S$, el conjunto de pagos de $S$ en los que para cada agente de $S$ se mejora lo mejor que ese agente puede obtener de forma no cooperativa, es un conjunto acotado. !!!def:Definición (Núcleo UNT) $(N,v)$ verificando lo anterior: $C_{UNT} =\{x\in v(N):\ \forall S\ \neg \exists y\in v(S)\ \forall i\in S\ (y_i>x_i)\}$ --- * No siempre se puede garantizar la existencia de los núcleos para los juegos canónicos (UT o UNT). * Si el núcleo está vacío, la gran coalición no puede estabilizarse. Entonces, se pueden utilizar conceptos de solución alternativos. * La Teoría de Juegos de Coalición proporciona varias categorías de juegos canónicos en los que se garantiza que el núcleo no es vacío. !!! Dado un juego UT, $(N,v)$, y una imputación $x\in \mathbb{R}^n$, el núcleo se puede encontrar mediante la resolución de un problema lineal (LP) como el siguiente: $$\{\arg\min_{x} \sum_{i\in N} x_i:\ \forall S\subseteq N\ (\sum_{i\in S} x_i\geq v(S))\}$$ En general, calcular el núcleo a través de este LP es **NP**-completo (el número de restricciones crece exponencialmente con $|N|$). También es cierto para los juegos UNT. Pero existen varias técnicas disponibles para determinar si el núcleo no es vacío y encontrar algunas de sus asignaciones. --- ### Método 1: Enfoque Gráfico Si $|N|≤ 3$: representar las restricciones en el plano $x_1+x_2+x_3=v(N)$, e identificar la región que contiene al núcleo. ### Método 2: Teorema de Bondareva-Shapley !!!def:Definición Un **peso equilibrado** es una aplicación $\mu:2^N\to [0,1]$ tal que $∀ i∈ N$ se tiene $\sum_{S:i\in S} \mu(S)=1$ Un juego UT es **equilibrado** si para todo $\mu$ peso equilibrado se tiene $\sum_{S\subseteq N} \mu(S)v(S)\leq v(N)$ !!!def: Teorema de Bondareva-Shapley El núcleo de un juego UT es no vacío si y sólo si el juego es equilibrado. Si un juego UNT es equilibrado, entonces el núcleo es no vacío. --- ### Método 3: Juegos Convexos !!!def:Definición Un juego canónico UT es **convexo** si para todo $S_1,\ S_2\subseteq N$: $v(S_1) + v(S_2)\leq v(S_1\cup S_2) + v(S_1\cap S_2 )$ La definición de convexidad se puede verificar de forma más sencilla si consideramos la aportación que hace cada agente: !!!def Un juego es **convexo** si $∀ i∈ N, \forall S_1\subseteq S_2\subseteq N\setminus \{i\}$: $v(S_1\cup \{i\})-v(S_1) \leq v(S_2\cup\{i\})-v(S_2)$ !!!def:Juegos Convexos Si un juego es convexo, entonces es equilibrado y tiene núcleo no vacío. Lo contrario no siempre es cierto. --- ### Método 4: Juegos Simples !!!def:Definición Un **juego simple**: $\forall S\subseteq N\ v(S)\in \{0,1\}$ y la gran coalición verifica $v(N)=1$. !!!def:Juegos con veto Un juego simple que contiene al menos un agente con veto ($v(N \setminus \{i\})=0$) tiene un núcleo no vacío. Además, en este tipo de juegos simples, el núcleo está totalmente caracterizado, y consiste en todos los perfiles de pago no negativos $x \in \mathbb{R}^n$ tales que $x_j=0$ para cada agente $j$ que no es un agente con veto, y $\sum_{i\in N}x_i=v(N)=1$. --- ### Método 5: Análisis de Imputaciones Concretas En varias aplicaciones, basta con encontrar si las distribuciones de pago que interesan en el juego (por ejemplo, las distribuciones justas), se encuentran en el núcleo. En este tipo de juegos, la demostración de que el núcleo no es vacío se realiza probando si estas asignaciones concretas se encuentran en el núcleo utilizando su definición explícita (en UT o en UNT). ### Método 6: Explotación de Características Específicas del Juego En muchos juegos la explotación de características específicas del juego, como la definición matemática de su valor o la naturaleza y propiedades subyacentes del modelo de juego, ayuda a encontrar las imputaciones que se encuentran en el núcleo. --- ## El valor de Shapley A pesar de sus bondades, como concepto de solución el núcleo adolece de tres inconvenientes principales: 1. Puede estar vacío, 2. Puede ser muy grande, por lo que la selección de una asignación adecuada del núcleo puede ser difícil, 3. Las asignaciones que se encuentran en el núcleo pueden ser injustas para uno o más agentes. Lo que motivó buscar un concepto de solución que pudiera asociar a cada juego coalicional un único vector de pagos (**valor del juego**, diferente del valor de una coalición): !!!def:Axiomas del Valor de Shapley ($\phi_i$ es el pago dado al agente $i$ por el valor de Shapley $\phi$): 1. **Eficiencia**: $\sum_{i\in N} \phi_i(v)=v(N)$. 2. **Simetría**: Si $i,\ j∈ N$ y $∀ S\ (i,j∉ S → v(S\cup\{i\})=v(S\cup\{j\}))$, entonces $\phi_i(v)=\phi_j(v)$. 3. **Dummy**: Si $i∈ N$ y $∀ S\ (i∉ S→ v(S\cup\{i\})=v(S))$, entonces $\phi_i(v)=0$. 4. **Aditividad**: Si $u$ y $v$ son funciones características, entonces $\phi(u+v)=\phi(v+u)=\phi(u)+\phi(v)$. --- !!!def: Teorema de Shapley Existe una aplicación única, el **valor de Shapley**, $\phi$, sobre el espacio de todos los juegos coalicionales verificando los axiomas anteriores.  En general, $\phi(v)$ no está relacionado con el núcleo, pero en algunas aplicaciones se puede demostrar que está en el núcleo. Por lo que combina tanto la estabilidad del núcleo como los axiomas y la equidad del valor de Shapley: !!!def:Teorema Para los juegos convexos el valor de Shapley se encuentra en el núcleo. En los juegos simples de votación coalicional, el valor de Shapley de un agente representa su poder en el juego (**índice de Shapley-Shubik**), y tiene un gran número de aplicaciones en muchos entornos políticos y de teoría de juegos. En las redes de comunicación, el valor de Shapley presenta un criterio de equidad adecuado para asignar recursos o tasas de datos. La complejidad computacional del cálculo del valor de Shapley crece significativamente con $|N|$. --- ## El Nucleolo Se introdujo principalmente para los juegos UT y todavía no se ha dado una extensión satisfactoria UNT. **Motivación**: en vez de aplicar una axiomatización que asegure la equidad de una asignación única de pagos, es decir, un valor para el juego, proporcionar una asignación que minimice la insatisfacción de los agentes con respecto a la asignación que pueden recibir en un juego dado. !!!def: Definición Para una coalición $S$, la **medida de insatisfacción** de una asignación $x\in \mathbb{R}^n$ se define como el **exceso**: $$e(x, S)= v(S)-\sum_{j\in S} x_j$$ !!!def:Corolario Una imputación se encuentra en el núcleo si y sólo si todos sus excesos son negativos o nulos. --- Debido a que cambiando la imputación podemos conseguir mejoras en algunos agentes y en otros no, hemos de introducir un orden en los vectores de valores que toman los agentes: !!!def:Definición $y \le_{lex} z ⇔ \exists\ i\leq k\ (y_i\le z_i \wedge \forall\ j\neq i\ (y_j= z_j))$ !!!def:Definición: Nucleolo Sea $O(x)$ el vector de todos los excesos en un juego canónico $(N,v)$, dispuestos en orden no creciente (excepto el exceso de la gran coalición $N$). Una imputación $x$ es un **nucleolo** si para cualquier otra imputación $z$, $O(x)\leq_{lex} O(z)$. Por lo tanto, el nucleolo es la imputación que minimiza los excesos (insatisfacción). ---  !!!def: Propiedades del Nucleolo 1. El nucleolo de un juego coalicional canónico existe y es único. 2. El nucleolo es grupal e individualmente racional (ya que es una imputación), y satisface los axiomas de simetría y de dummy de Shapley. 3. Si $C_{UT}\neq \emptyset$, entonces el nucleolo está en el núcleo. 4. Proceso para calcular el nucleolo: 1. Encontrar las imputaciones que distribuyen el valor de la gran coalición para que se minimice el exceso máximo (insatisfacción). 2. En el caso de que esta minimización tenga una solución única, esta solución es el nucleolo. 3. En caso contrario, se buscan las imputaciones que minimicen el segundo mayor exceso. 4. Repetir para todos los excesos posteriores, hasta encontrar una solución única que sería el nucleolo (mediante técnicas de programación lineal). El nucleolo es un concepto interesante que combina una serie de criterios de equidad con la estabilidad, pero se usa poco debido, principalmente, a su complejidad computacional en algunos juegos. --- !!!Tip: Ejemplo (**Problema del contrato matrimonial**, Talmud de Babilonia, 300-500 d.C.) Un hombre tiene tres esposas y se ha comprometido con un contrato matrimonial que especifica que deben recibir, como máximo, $100$, $200$ y $300$ unidades, respectivamente, después de su muerte. En el contrato no dice cómo debe distribuirse en caso de que la cantidad no sea suficiente. Si este es el caso, el Talmud recomienda: * Si tras de la muerte del hombre quedan $\alpha=100$, entonces cada esposa recibe $100/3$. * Si $\alpha=200$, entonces la primera esposa obtiene $50$, y las otras dos $75$ cada una. * Si $\alpha=300$, entonces la primera esposa obtiene $50$, la segunda esposa obtiene $100$, y la tercera $150$. No indica el reparto para otros valores de $\alpha$. pero si $\alpha\geq 600$ entonces cada esposa recibe su derecho completo. Una pregunta clave que desconcertaba a los matemáticos e investigadores de la teoría de juegos era cómo se había calculado este reparto. $N$ es el conjunto de esposas y $v(S)= \max(0, \alpha-\sum_{i\in N\setminus S} c_i)$, donde ($c_1=100$, $c_2=200$, $c_3=300$). Con esta formulación, los pagos recomendados por el Talmud coinciden con el nucleolo del juego. --- # Clase II: Formación de Coaliciones --- Los **juegos de formación de coaliciones** abarcan los juegos de coalición en los que la estructura de las coaliciones y el coste de la cooperación desempeñan un papel importante. En los juegos canónicos hay una suposición implícita de que formar una coalición es siempre beneficioso. En muchos problemas, la formación de una coalición requiere un proceso (negociación/intercambio) que puede suponer un coste, reduciendo así las ganancias de la formación de la coalición. !!!note:Características de Juegos de Formación de Coaliciones 1. El juego está en forma característica o en forma de partición (UT o UNT) y, generalmente, no es superaditivo. 2. La formación de una coalición aporta beneficios a sus miembros, pero limitados por un coste, por lo que la gran coalición rara vez es la estructura óptima. 3. Objetivos: ¿qué coaliciones se formarán?, ¿cuál es el tamaño óptimo de la coalición?, y ¿cómo podemos evaluar las características de la estructura? 4. El juego coalicional está sujeto a cambios en el entorno, como una variación en el número de agentes, un cambio en la fuerza de cada agente, u otros factores que pueden afectar a la topología de la red. 5. La estructura puede tener restricciones por factores externos (por ejemplo, restricciones físicas). --- !!!def:Definición (Juegos de Formación de Coaliciones) $(N, v, \mathcal{B})$, donde $\mathcal{B}= \{B_1, \dots, B_m\}$ es una estructura coalicional (cada $B_i$ es una coalición) verificando: * **Eficiencia Relativa**: Dado $x\in \mathbb{R}^n$, para cada $B_k \in \mathcal{B}$, $\sum_{i\in B_k}x_i=v(B_k)$. (como la racionalidad de grupo, pero solo en las coaliciones). * Se mantienen los axiomas de Shapley, pero el axioma de eficiencia que se sustituye por un **axioma de eficiencia relativa**. Así, el valor de Shapley de $(N,v,\mathcal{B})$ ($\mathcal{B}$-valor), tiene la **propiedad de restricción**: para encontrar el $\mathcal{B}$-valor se consideran los juegos coalicionales restringidos $\{(B_k, v|B_k): \ B_k\in \mathcal{B}\}$. * Las definiciones canónicas del núcleo y del nucleolo también se modifican, sustituyendo la racionalidad del grupo por la eficiencia relativa. Pero la propiedad de restricción no se aplica al núcleo ni al nucleolo, ya que éstos dependen de todas las coaliciones de $N$. Por tanto, en presencia de $\mathcal{B}$, el núcleo y el nucleolo dependen de los valores de las coaliciones $B_k \in \mathcal{B}$, así como de los valores de las coaliciones que no están en $\mathcal{B}$. Por tanto, el problema de encontrar el núcleo y el nucleolo de $(N, v,\mathcal{B})$ es más complejo que para el valor de Shapley. --- En muchas aplicaciones prácticas, es deseable que el proceso de formación de la coalición tenga lugar de forma distribuida, dotando a los agentes de autonomía en la decisión de unirse o no a una coalición. Los enfoques utilizados para la formación de coaliciones distribuidas son muy variados y van desde enfoques heurísticos, y métodos basados en cadenas de Markov, hasta métodos basados en la teoría de conjuntos, o aproximaciones que utilizan la Teoría de la Negociación. Aunque no existen reglas generales para la formación de coaliciones distribuidas, hay algunas reglas genéricas que pueden utilizarse para derivar algoritmos de formación de coaliciones específicos para cada aplicación: * Órdenes bien definidos adecuados para comparar colecciones de coaliciones. Por ejemplo: **Orden utilitario** y **Orden de Pareto**. * Dos reglas sencillas para formar o romper coaliciones, denominadas **fusión** y **división**. * Nociones adecuadas para evaluar la estabilidad de una partición: como la **función de deserción**. --- ## Juego del aeropuerto Los aviones que utilizan las instalaciones de un aeropuerto deben pagar por su uso y, en particular, deben pagar una tasa por cada operación en la que utilizan la pista de aterrizaje (es decir, por cada despegue y cada aterrizaje). !!! $L = \{1, \dots , k\}$ tipos distintos de aeronaves que utilizan el aeropuerto. $\alpha_j$ ($j\in L$) el coste de construcción de una pista adecuada para las aeronaves de tipo $j$ ($\alpha_0=0 \leq \alpha_1\leq \dots \leq \alpha_k$). $O_j$ el conjunto de operaciones realizadas por las aeronaves de tipo $j$ (y por $n_j = |O_j|$), y $N$ es el conjunto de todas las operaciones, es decir, $N = \cup_{j\in L} O_l$. Para $S \subseteq N$, $t(S)$ es el mayor de los tipos involucrados en las operaciones en $S$: $t(S) = \max\{j\in L :\ S \cap O_l\neq \emptyset\}$. El coste asociado a $S$, $c(S) = \alpha_{t(S)}$. Por tanto, tenemos definido un problema de asignación de costes $(N, c)$ en el cual $c(N) = \alpha_k$ debe ser repartido entre las operaciones de las aeronaves. Los agentes son las operaciones de despegue y aterrizaje realizadas por las aeronaves, y no las aeronaves mismas. De ahora en adelante hablaremos de agentes en lugar de operaciones. --- !!!def: Teorema Sea $(N, c)$ un juego de aeropuerto. Entonces, el valor de Shapley de $(N, c)$ puede calcularse, para cada $i \in N$, como $$\phi_i(N, c) = \sum_{j=1}^{t(i)}\frac{\alpha_j − \alpha_{j-1}}{u_j}$$ donde $\alpha_0 = 0$, $t(i)$ es el tipo de aeronave del agente $i$, y $u_j$ es el número de agentes de tipo mayor o igual que $j$. Este reparto tiene la siguiente interpretación: * El coste, $\alpha_1$, de construcción de la parte de la pista de aterrizaje que necesitan todos los tipos de aeronave se divide a partes iguales entre todos los agentes. * El coste incremental, $\alpha_2−\alpha_1$, necesario para todas las aeronaves a excepción de las del primer tipo, se divide a partes iguales entre todos los agentes de tipos $\{2, 3,\dots, k\}$. * Y así sucesivamente... --- Además de por sus propiedades computacionales, el valor de Shapley es un regla de asignación especialmente apropiada para los juegos de aeropuerto por ser convexos y, en consecuencia, el valor de Shapley de un juego de aeropuerto siempre pertenece al núcleo. Las estructuras coalicionales surgen de un modo particularmente natural en los juegos de aeropuerto debido a que las aeronaves pertenecen a compañías aéreas, hecho que debe ser tenido en cuenta a la hora de hacer los repartos de los costes: > *Aunque el modelo del juego del aeropuerto estudiado hasta ahora en la literatura ha sido bastante valioso, > creemos que hay un aspecto importante de la determinación de las tasas de aterrizaje de los aviones que se > ignora, a saber, el hecho de que los aviones están organizados en aerolíneas. Sostenemos que los aviones no > deben considerarse como unidades aisladas, sino como parte de una compañía aérea, y que las compañías más > grandes tienen más posibilidades de negociar descuentos u otras ventajas de costes que las más pequeñas.* --- # Clase III: Grafos de Coaliciones --- En las clases anteriores el valor de una coalición no depende de cómo están interconectados los agentes dentro de la coalición. Sin embargo, se ha demostrado que, en ciertos escenarios, la estructura de comunicación/ligadura subyacente entre los agentes de un juego coalicional puede tener un gran impacto en la utilidad y otras características del juego. !!!note:Características de Juegos de Grafos En general, las principales propiedades que distinguen a un juego de grafo coalicional son las siguientes: 1. El juego coalicional tiene forma de grafo, y puede ser UT o UNT. En este caso, el valor de una coalición puede depender de la estructura completa de la red. 2. La interconexión entre los agentes de cada coalición, es decir, quién está conectado con quién, influye mucho en las características y el resultado del juego. 3. El objetivo principal es derivar algoritmos distribuidos de baja complejidad para los agentes que desean construir un grafo de red (dirigido o no dirigido) y no sólo grupos de coalición como en los juegos de formación de coaliciones. Otro objetivo es estudiar las propiedades (estabilidad, eficiencia, etc.) del grafo formado. --- Se han desarrollado nuevos conceptos de estabilidad, como la **estabilidad por pares** y la **estabilidad coalicional**. La idea básica es presentar nociones de estabilidad que dependen de las desviaciones de un grupo de agentes en lugar de las desviaciones unilaterales permitidas por el equilibrio de Nash. Independientemente del concepto de estabilidad, una cuestión de diseño clave en los juegos de formación de redes es el equilibrio entre la estabilidad y la eficiencia. Es deseable idear algoritmos para formar redes estables que también puedan ser eficientes en términos de distribución de resultados o bienestar social total. Existen varios enfoques para idear tales algoritmos, en particular utilizando procesos estocásticos, técnicas de teoría de grafos o juegos no cooperativos. También se pueden proponer otros enfoques que están estrechamente ligados a los juegos canónicos. Por ejemplo, una extensión del núcleo denominada **núcleo equilibrado** que tiene en cuenta la estructura del grafo, y para el que, bajo ciertas condiciones, análogas a las condiciones de equilibrio de los juegos canónicos, se muestra que este núcleo equilibrado no es vacío.