1 El tipo de las matrices
2 Constructores
3 Matrices especiales
4 Funciones de acceso
5 Transformaciones de matrices
6 Submatrices
- 6.1 Separación de bloques
- 6.2 Unión de bloques
7 Operaciones con matrices
8 Transformaciones lineales
9 Descomposiciones
10 Propiedades
11 Determinante
12 Referencias

En este manual se presentan ejmplos de las funciones de la librería de matrices Data.Matrix 0.2.4.0. En los ejemplos se supone que se han importado las siguientes librerías

 ghci> import Data.Matrix as M
 ghci> import Data.Vector as V

1 El tipo de las matrices

(Matrix a) es el tipo de las matrices con elementos de tipo a. Por ejemplo,

ghci> :type (matrix 3 3 (\(i,j) -> 2*i - j))
(matrix 3 3 (\(i,j) -> 2*i - j)) :: Matrix Int

(nrows m) es el número de filas de la matriz m. Por ejemplo,

ghci> let m = matrix 3 4 (\(i,j) -> 2*i - j)
ghci> nrows m
3

(ncols m) es el número de columnas de la matriz m. Por ejemplo,
```
ghci> let m = matrix 3 4 (\(i,j) -> 2*i - j)
ghci> ncols m
4
```
(prettyMatrix m) es la cadena correspondiente a la matriz m. Por ejemplo,
```
ghci> prettyMatrix m
"(  1  0 -1 )\n(  3  2  1 )\n(  5  4  3 )\n"
```

(fmap f m) es la matriz obtenida aplicando la función f a todos los elementos de la matriz m. Por ejemplo,

ghci> let m = matrix 2 3 (\(i,j) -> i-j)
ghci> m
(  0 -1 -2 )
(  1  0 -1 )

ghci> fmap (*3) m
(  0 -3 -6 )
(  3  0 -3 )

2 Constructores

(matrix m n f) es la matriz de dimensión mxn tal que su elemento (i,j) es f(i,j). Por ejemplo,
```
ghci> matrix 3 4 (\(i,j) -> i-j)
(  0 -1 -2 -3 )
(  1  0 -1 -2 )
(  2  1  0 -1 )
```
(fromList m n xs) es la matriz de orden mxn formada por los primeros elemntos de xs. Por ejemplo,
```
ghci> M.fromList 2 3 [1..20]
(  1  2  3 )
(  4  5  6 )
```
(fromLists xss) es la matriz cuyas filas son los elementos de xss (se supone que todos tienen la misma longitud). Por ejemplo,
```
ghci> fromLists [[1,2,3],[4,5,6]]
( 1 2 3 )
( 4 5 6 )
```
(rowVector v) es la matriz cuya única fila es el vector v. Por ejemplo,
```
ghci> rowVector (V.fromList [3,2,5])
( 3 2 5 )
```
(colVector v) es la matriz cuya única columna es el vector v. Por ejemplo,
```
ghci> colVector (V.fromList [3,2,5])
( 3 )
( 2 )
( 5 )
```

3 Matrices especiales

(zero m n) es la matriz cero con m filas y n columnas. Por ejemplo,
```
ghci> zero 2 3
( 0 0 0 )
( 0 0 0 )
```
(identity n) es la matrix identidad de orden n. Por ejemplo,
```
ghci> identity 3
( 1 0 0 )
( 0 1 0 )
( 0 0 1 )
```
(permMatrix n i j) es la matriz de orden n obtenida permutando en la matriz identidad las columnas i y j. Por ejemplo,
```
ghci> permMatrix 3 1 2
( 0 1 0 )
( 1 0 0 )
( 0 0 1 )
```

4 Funciones de acceso

(getElem i j p) es el elemento (i,j) de la matriz p. Por ejemplo,
```
(ghci> getElem 2 1 (M.fromList 2 3 [1..6])
4
```
(p ! (i,j)) es el elemento (i,j) de la matriz p. Por ejemplo,
```
ghci> (M.fromList 2 3 [1..6]) M.! (2,1)
4
```

(getRow i p) es la fila i de la matriz p. Por ejemplo,

ghci> getRow 2 (M.fromList 2 3 [1..6]) 
fromList [4,5,6]

(getCol j p) es la columna j de la matriz p. Por ejemplo,
```
ghci> getCol 2 (M.fromList 2 3 [1..6]) 
fromList [2,5]
```

(getDiag p) esla diagonal de la matriz p. Por ejemplo,

ghci> getDiag (M.fromList 2 3 [1..6]) 
fromList [1,5]

5 Transformaciones de matrices

(setElem x (i,j) p) es la matriz obtenida sustiyendo en p el elemento (i,j) por x. Por ejemplo,
```
ghci> setElem 9 (2,1) (identity 3)
( 1 0 0 )
( 9 1 0 )
( 0 0 1 )
```

(transpose p) es la traspuesta de la matriz p. Por ejemplo,

ghci> transpose (fromLists [[1,2,3],[4,5,6]])
( 1 4 )
( 2 5 )
( 3 6 )

(extendTo m n p) es la matriz de orden mxn obtenida añadiendo filas y columnas de ceros al final de la matriz p. Por ejemplo,
```
ghci> extendTo 3 5 (fromLists [[1,2,3],[4,5,6]])
( 1 2 3 0 0 )
( 4 5 6 0 0 )
( 0 0 0 0 0 )
```

(mapRow f i m) es la matriz obtenida aplicando la función f a todos los elementos de la fila i de la matriz m. Por ejemplo,

ghci> let m = matrix 3 3 (\(i,j) -> i-j)
ghci> m
(  0 -1 -2 )
(  1  0 -1 )
(  2  1  0 )
ghci> mapRow (\_ x -> x + 5) 2 m
(  0 -1 -2 )
(  6  5  4 )
(  2  1  0 )

(mapCol f j m) es la matriz obtenida aplicando la función f a todos los elementos de la columna j de la matriz m. Por ejemplo,

ghci> let m = matrix 3 3 (\(i,j) -> i-j)
ghci> m
(  0 -1 -2 )
(  1  0 -1 )
(  2  1  0 )
ghci> mapCol (\_ x -> x + 5) 2 m
(  0  4 -2 )
(  1  5 -1 )
(  2  6  0 )

6 Submatrices

6.1 Separación de bloques

(submatrix i1 i2 j1 j2 p) es la submatriz de p formadas por las filas desde i1 a i2 y las columnas desde j1 a j2. Por ejemplo,

ghci> M.fromList 4 4 [1..16]
(  1  2  3  4 )
(  5  6  7  8 )
(  9 10 11 12 )
( 13 14 15 16 )
ghci> submatrix 1 3 2 4 (M.fromList 4 4 [1..16])
(  2  3  4 )
(  6  7  8 )
( 10 11 12 )
ghci> submatrix 1 2 3 4 (M.fromList 4 4 [1..16])
( 3 4 )
( 7 8 )

(minor i j p) es la submatriz de p obtenida eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo,

ghci> M.fromList 4 4 [1..16]
(  1  2  3  4 )
(  5  6  7  8 )
(  9 10 11 12 )
( 13 14 15 16 )
ghci> minorMatrix 2 3 (M.fromList 4 4 [1..16])
(  1  2  4 )
(  9 10 12 )
( 13 14 16 )

(splitBlocks i j p) es (a,b,c,d) donde
- a es la submatriz de p hasta la fila i y la columna j,
- b es la submatriz de p hasta la fila i y desde la columna j,
- c es la submatriz de p desde la fila i y hasta la columna j y
- d es la submatriz de p desde la fila i y desde la columna j. Por ejemplo,
```
ghci> splitBlocks 2 3 (M.fromList 4 5 [1..20])
(( 1 2 3 )
 ( 6 7 8 )
,(  4  5 )
 (  9 10 )
,( 11 12 13 )
 ( 16 17 18 )
,( 14 15 )
 ( 19 20 )
)
```

6.2 Unión de bloques

(p <|> q) es la matriz obtenida añadiendo q a la derecha de p. Por ejemplo,

ghci> fromLists [[1,3],[5,4]] <|> fromLists [[7,9,6],[0,2,8]]
( 1 3 7 9 6 )
( 5 4 0 2 8 )

(p <-> q) es la matriz obtenida añadiendo q debajo de p. Por ejemplo,

ghci> fromLists [[1,3],[5,4]] <-> fromLists [[7,9],[0,2],[8,6]]
( 1 3 )
( 5 4 )
( 7 9 )
( 0 2 )
( 8 6 )

(joinBlocks (a,b,c,d)) es la matriz p tal que
- a es la submatriz de p hasta la fila i y la columna j,
- b es la submatriz de p hasta la fila i y desde la columna j,
- c es la submatriz de p desde la fila i y hasta la columna j y
- d es la submatriz de p desde la fila i y desde la columna j. Por ejemplo,
```
ghci> let a = fromLists [[1,2,3],[6,7,8]]
ghci> let b = fromLists [[4,5],[9,10]]
ghci> let c = fromLists [[11,12,13],[16,17,18]]
ghci> let d = fromLists [[14,15],[19,20]]
ghci> joinBlocks (a,b,c,d)
(  1  2  3  4  5 )
(  6  7  8  9 10 )
( 11 12 13 14 15 )
( 16 17 18 19 20 )
```

7 Operaciones con matrices

(p + q) es la suma de las matrices p y q. Por ejemplo,

ghci> let p = fromLists [[1,3,5],[4,7,9]]
ghci> let q = fromLists [[5,4,2],[3,2,0]]
ghci> p + q
( 6 7 7 )
( 7 9 9 )

(p - q) es la resta de las matrices p y q. Por ejemplo,

ghci> let p = fromLists [[1,3,5],[4,7,9]]
ghci> let q = fromLists [[5,4,2],[3,2,0]]
ghci> p - q
( -4 -1  3 )
(  1  5  9 )

(p * q) es el producto de las matrices p y q. Por ejemplo,

ghci> let p = fromLists [[1,3,5],[4,7,9]]
ghci> let q = fromLists [[4,7],[6,9],[8,2]]
ghci> p * q
(  62  44 )
( 130 109 )

8 Transformaciones lineales

(scaleMatrix x p) es la matriz obtenida multiplicando los elementos de p por x. Por ejemplo,
```
ghci> scaleMatrix 10 (fromLists [[3,2,5],[6,4,7]])
( 30 20 50 )
( 60 40 70 )
```
(scaleRow x i p) es la matriz obtenida multiplicando por x los elementos de la fila i de la matriz p. Por ejemplo,
```
ghci> scaleRow 10 2 (fromLists [[3,2,5],[6,4,7],[0,9,1]])
(  3  2  5 )
( 60 40 70 )
(  0  9  1 )
```
(combineRows i1 x i2 p) es la matriz obtenida sumando a la fila i1 de p los elementos de la i2 multiplicados por x. Por ejemplo,
```
ghci> combineRows 2 10 1 (fromLists [[3,2,5],[6,4,7],[0,9,1]])
(  3  2  5 )
( 36 24 57 )
(  0  9  1 )
```
(switchRows i1 i2 p) es la matriz obtenida intercambiando las filas i1 e i2 de la matriz p. Por ejemplo,
```
ghci> switchRows 2 1 (fromLists [[3,2,5],[6,4,7],[0,9,1]])
( 6 4 7 )
( 3 2 5 )
( 0 9 1 )
```
(switchCols j1 j2 p) es la matriz obtenida intercambiando las columnas j1 y j2 de la matriz p. Por ejemplo,
```
ghci> switchCols 2 1 (fromLists [[3,2,5],[6,4,7],[0,9,1]])
( 2 3 5 )
( 4 6 7 )
( 9 0 1 )
```

9 Descomposiciones

(luDecomp a) es la descomposición (o factorización) LU con pivote parcial (del inglés "Lower-Upper") de la matriz A expresada como (U,L,P,d), donde U es una matriz triangular superior, L es una matriz triangular inferior unitaria, P es una matriz de permutación y d es el determinante de P, tales que PA = LU. Además, para todo (i,j), L(i,j) ≤ 1. Por ejemplo,
```
ghci> luDecomp (fromLists [[1,2,0],[0,2,1],[2,0,2]])
((  2.0  0.0  2.0 )
 (  0.0  2.0 -1.0 )
 (  0.0  0.0  2.0 )
,( 1.0 0.0 0.0 )
 ( 0.5 1.0 0.0 )
 ( 0.0 1.0 1.0 )
,( 0.0 0.0 1.0 )
 ( 1.0 0.0 0.0 )
 ( 0.0 1.0 0.0 )
,1.0)
```
(luDecomp' a) es la descomposición (o factorización) LU con pivote total (del inglés "Lower-Upper") de la matriz A expresada como (U,L,P,Q,d,e), donde U es una matriz triangular superior, L es una matriz triangular inferior unitaria, P y Q son matrices de permutación, d es el determinante de P y e es el determinante de Q, tales que PAQ = LU. Además, para todo (i,j), L(i,j) ≤ 1. Por ejemplo,
```
ghci> luDecomp' (fromLists [[1,0],[0,2],[0,0]])
(( 2.0 0.0 )
 ( 0.0 1.0 )
 ( 0.0 0.0 )
,( 1.0 0.0 0.0 )
 ( 0.0 1.0 0.0 )
 ( 0.0 0.0 1.0 )
,( 0.0 1.0 0.0 )
 ( 1.0 0.0 0.0 )
 ( 0.0 0.0 1.0 )
,( 0.0 1.0 )
 ( 1.0 0.0 )
,-1.0
,-1.0)
```

(cholDecomp a) es la descomposición de Cholesky es una es una matriz triangular inferior con entradas diagonales estrictamente positivas L tal que A = LL' donde L' es la conjugada traspuesta de L. Esta es la descomposición de Cholesky. Por ejemplo,

ghci> cholDecomp (fromLists [[2,-1,0],[-1,2,-1],[0,-1,2]])
(  1.4142135623730951                 0.0                 0.0 )
( -0.7071067811865475   1.224744871391589                 0.0 )
(                 0.0 -0.8164965809277261  1.1547005383792515 )

10 Propiedades

(trace p) es la traza (i.e. suma de los elementos de la digonal) de la matriz p. Por ejemplo,
```
ghci> trace (fromLists [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
15
```
(diagProd p) es el producto de los elementos de la diagonal de la matriz

Por ejemplo,

ghci> diagProd (fromLists [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
45

11 Determinante

(detLaplace p) es el determinante de la matriz p calculado mediante la expansión de Laplace. Por ejemplo,

ghci> detLaplace (fromLists [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
0
ghci> detLaplace (fromLists [[1,2,3],[4,0,6],[7,8,9]])
60

(detLU p) es el determinante de la matriz p calculado mediante la descomposición LU. Por ejemplo,
```
ghci> detLU (fromLists [[1,2,3],[4,0,6],[7,8,9]])
60.00000000000001
```

12 Referencias

Data.Matrix 0.2.4.0

Manual de la librería de matrices Data.Matrix 0.2.4.0.

José A. Alonso Jiménez

7 de Febrero de 2014