1 Introducción

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.
El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.
Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. Por ejemplo, el romanescu (un híbrido de brécol)

Vídeo de fractales en la naturaleza

2 Ejemplo simple: el fractal del árbol

2.1 Tronco de un árbol

Dibujo

Programa Tronco.hs

import Graphics.Gloss

main :: IO ()
main = display (InWindow "Tronco de arbol" (700,800) (20,20)) black dibujo

dibujo :: Picture   
dibujo = Color aquamarine (Translate 0 (-300) tronco) 

tronco :: Picture
tronco = Polygon [(30,0), (15,300), (-15,300), (-30,0)]

2.2 Tronco de árbol con ramas

Dibujo

Programa TroncoConRamas.hs

import Graphics.Gloss

main :: IO ()
main = display (InWindow "Tronco y ramas" (700,800) (20,20)) black dibujo

dibujo :: Picture      
dibujo = Color green (Translate 0 (-300) troncoConRamas)

tronco :: Picture
tronco = Polygon [(30,0), (15,300), (-15,300), (-30,0)]

troncoConRamas :: Picture
troncoConRamas = 
    Pictures [ tronco,
               Translate 0 300 rama,
               Translate 0 240 (Rotate 20    rama),
               Translate 0 180 (Rotate (-20) rama),
               Translate 0 120 (Rotate 40    rama),
               Translate 0  60 (Rotate (-40) rama)
             ]
    where rama = Scale 0.5 0.5 tronco

2.3 Construcción iterada de un árbol

Dibujo

Programa Arbol.hs

import Graphics.Gloss

main :: IO ()
main = display (InWindow "Arbol" (700,800) (20,20)) black dibujo

dibujo :: Picture
dibujo = Color green (Translate 0 (-300) arbol)

tronco :: Picture
tronco = Polygon [(30,0), (15,300), (-15,300), (-30,0)]

troncoConRamas :: Picture
troncoConRamas = 
    Pictures [ tronco,
               Translate 0 300 rama,
               Translate 0 240 (Rotate 20    rama),
               Translate 0 180 (Rotate (-20) rama),
               Translate 0 120 (Rotate 40    rama),
               Translate 0  60 (Rotate (-40) rama)
             ]
    where rama = Scale 0.5 0.5 tronco

arbol :: Picture
arbol = 
    Pictures [ tronco,
               Translate 0 300 ramas,
               Translate 0 240 (Rotate 20    ramas),
               Translate 0 180 (Rotate (-20) ramas),
               Translate 0 120 (Rotate 40    ramas),
               Translate 0  60 (Rotate (-40) ramas)
             ]
    where ramas = Scale 0.5 0.5 troncoConRamas

2.4 Árbol como un fractal (recursión sobre el paso)

Objetivo: Definir una única función con un argumento (el paso) que pinte los siguientes dibujos.

Árbol fractal, paso 0

Árbol fractal, paso 1

Árbol fractal, paso 2

Árbol fractal, paso 3

Árbol fractal, paso 4

Árbol fractal, paso 5

Árbol fractal, paso 6

Programa ArbolFractal.hs

import Graphics.Gloss
import System.IO

main :: IO ()
main = do 
  hSetBuffering stdout NoBuffering
  putStr "Árbol fractal.  Introduce el paso [0..6]: "
  paso <- readLn
  display (InWindow "Arbol fractal" (700,800) (20,20)) black (dibujo paso)

dibujo :: Int -> Picture        
dibujo paso = Color green (Translate 0 (-300) (arbol paso))

tronco :: Picture
tronco = Polygon [(30,0), (15,300), (-15,300), (-30,0)]

arbol :: Int -> Picture
arbol 0 = tronco
arbol n = Pictures [tronco,
                    Translate 0 300 menor,
                    Translate 0 240 (Rotate 20    menor),
                    Translate 0 180 (Rotate (-20) menor),
                    Translate 0 120 (Rotate 40    menor),
                    Translate 0  60 (Rotate (-40) menor) ]
    where menor = Scale 0.5 0.5 (arbol (n-1))

2.5 Árbol como un fractal coloreado (recursión sobre el paso y el color)

Objetivo: Definir una única función con un argumento (el paso) que pinte los siguientes dibujos.

Dibujo paso 0

Dibujo paso 1

Dibujo paso 2

Dibujo paso 3

Dibujo paso 4

Dibujo paso 5

Dibujo paso 6

Programa ArbolFractalColoreado.hs

import Graphics.Gloss
import System.IO

main :: IO ()
main = do
  hSetBuffering stdout NoBuffering
  putStr "Árbol fractal.  Introduce el paso [0..6]: "
  paso <- readLn
  display (InWindow "Arbol fractal" (700,800) (20,20)) black (dibujo paso)

dibujo :: Int -> Picture
dibujo paso = Translate 0 (-300) (arbol paso marron)

tronco :: Color -> Picture
tronco color = Color color (Polygon [(30,0), (15,300), (-15,300), (-30,0)])

arbol :: Int -> Color -> Picture
arbol 0 color = tronco color
arbol n color = Pictures [tronco color,
                          Translate 0 300 arbolMenor,
                          Translate 0 240 (Rotate   20  arbolMenor),
                          Translate 0 180 (Rotate (-20) arbolMenor),
                          Translate 0 120 (Rotate   40  arbolMenor),
                          Translate 0  60 (Rotate (-40) arbolMenor) ]
    where arbolMenor = Scale 0.5 0.5 (arbol (n-1) (masVerde color))

marron :: Color
marron = makeColor8 139 100  35 255

-- (masVerde c) es el color obtenido mezclando los colores c y verde en
-- las proporciones 1 y 0.1.
masVerde :: Color -> Color
masVerde color = mixColors 1.0 0.1 color green

3 Fractal de la curva de Koch

La curva de Koch es un fractal descrito por el matemático sueco Helge von Koch en 1904.
Construcción:
- Se inicia con un segmento.
- Se divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados.
- Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración.
- Y así sucesivamente.
El paso es

Representación de los seis primeras pasos de la construcción.

Curva de Koch, paso 0

Curva de Koch, paso 1

Curva de Koch, paso 2

Curva de Koch, paso 3

Curva de Koch, paso 4

Curva de Koch, paso 5

Curva de Koch, paso 6

Programa Curva_de_Koch.hs

import Graphics.Gloss
import System.IO

main :: IO ()
main = do
  hSetBuffering stdout NoBuffering
  putStr "Curva de Koch. Introduce el paso [0..6]: "
  paso <- readLn
  display (InWindow ("Curva de Koch - Paso " ++ show paso) 
                    (500,500) (20,20)) black (dibujo paso)

-- Longitud de los lados del triángulo inicial
longitud = 360 :: Float

dibujo :: Int -> Picture
dibujo paso =
    Color aquamarine $                                  -- colorea  
    Translate (-longitud/2) (-(longitud * sqrt 3)/6) $  -- centra el fractal
    curva paso
    
curva :: Int -> Picture
curva 0 = Line [(0, 0), (longitud, 0)]
curva n =
    Pictures [nuevaCurva,
              Translate (longitud/3) 0                        (Rotate (-60) nuevaCurva),
              Translate (longitud/2) ((longitud * sqrt 3)/6)  (Rotate   60  nuevaCurva),
              Translate (2 * longitud/3) 0                    nuevaCurva ]
    where nuevaCurva = Scale (1/3) (1/3) (curva (n-1))

4 Fractal del copo de nieve de Koch

Construcción: Tres curvas de Koch unidas forman el copo de nieve de Koch.
Representación de los seis primeras pasos de la construcción.

Copo de nieve, paso 0

Copo de nieve, paso 1

Copo de nieve, paso 2

Copo de nieve, paso 3

Copo de nieve, paso 4

Copo de nieve, paso 5

Copo de nieve, paso 6

Programa Copo_de_nieve_de_Koch.hs

import Graphics.Gloss
import System.IO

main :: IO ()
main = do
  hSetBuffering stdout NoBuffering
  putStr "Fractal copo de nieve. Introduce el paso [0..6]: "
  paso <- readLn
  display (InWindow "Fractal copo de nieve" (500,500) (20,20)) black (dibujo paso)

-- Longitud de los lados del triángulo inicial
longitud = 360 :: Float

dibujo :: Int -> Picture
dibujo paso =
    Color aquamarine $                                  -- colorea  
    Translate (-longitud/2) ((longitud * sqrt 3)/6) $   -- centra el fractal
    copoDeNieve paso
    
curva :: Int -> Picture
curva 0 = Line [(0,0), (longitud, 0)]
curva n =
    Pictures [nuevaCurva,
              Translate (longitud/3)     0                        (Rotate (-60) nuevaCurva),
              Translate (longitud/2)     ((longitud * sqrt 3)/6)  (Rotate   60  nuevaCurva),
              Translate (2 * longitud/3) 0                        nuevaCurva]
    where nuevaCurva = Scale (1/3) (1/3) (curva (n-1))

copoDeNieve :: Int -> Picture
copoDeNieve n =
    Pictures [unaCurva ,
              Translate longitud     0                          (Rotate   120  unaCurva),
              Translate (longitud/2) (-((longitud * sqrt 3)/2)) (Rotate (-120) unaCurva)]
    where unaCurva = curva n

5 Triángulo de Sierpinski

El triángulo de Sierpinski es un fractal que se puede construir a partir de un triángulo equilátero.
Construción
- El inicio es un triángulo equilátero.
- A partir de los puntos medios de cada lado se construye un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Se recorta.
- El proceso se repite con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que quedan. Así que esta vez se recortan tres triángulos invertidos de lado 1/4.
- Se repite el proceso.
El paso es

Representación de los seis primeras pasos de la construcción.

Sierpinski, paso 0

Sierpinski, paso 1

Sierpinski, paso 2

Sierpinski, paso 3

Sierpinski, paso 4

Sierpinski, paso 5

Sierpinski, paso 6

Programa Sierpinski.hs

import Graphics.Gloss
import System.IO

main :: IO ()
main = do
  hSetBuffering stdout NoBuffering
  putStr "Sierpinski. Introduce el paso [0..6]: "
  paso <- readLn
  display (InWindow ("Sierpinski - Paso " ++ show paso) 
                    (500,500) (20,20)) black (dibujo paso)

dibujo :: Int -> Picture
dibujo paso = Color aquamarine (Translate (-150) (-125) (sierpinski paso))

-- Longitud del lado inicial
longitud = 300 :: Float

sierpinski :: Int -> Picture
sierpinski 0 = 
    Polygon [(0,0),
             (longitud/2, longitud * sqrt 3 /2),
             (longitud, 0)]
sierpinski n
    = Pictures [nuevoSierpinski,
                Translate (longitud/2) 0 nuevoSierpinski,
                Translate (longitud/4) (longitud * sqrt 3 /4) nuevoSierpinski]
      where nuevoSierpinski = Scale 0.5 0.5 (sierpinski (n-1))