Tema CS2. Funciones de una variable
(Soluciones de ejercicios propuestos)

1 Ejercicio 1

Ejercicio 1. Sean a y b dos números reales. Se considera la función f definida
sobre R por
   f(x) = (e^x-1)/x si x>0
          a*x+b si x<=0

Ejercicio 1.1. Definir la función f usando el condicional if ... then ... else

(%i1) f(x) := if x>0 then (%e^x-1)/x
           else a*x+b;

Ejercicio 1.2. limit no puede evaluar comandos del tipo if...then Por ello,
para determinar el límite de f en cero por la derecha se necesita precisar
en qué intervalo se encuentra x. Esto puede hacerse con la función assume.

Escribir la expresión assume(x>0), después calcular el límite de f en cero por
la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre x por forget(x>0)

(%i2) assume(x>0)$

(%i3) limit(f(x), x, 0, plus);

(%i4) forget(x>0)$

Ejercicio 1.3. Deducir el valor de b para el que f es continua en R.

(%i5) assume(x<=0)$

(%i6) limit(f(x), x, 0, minus);

(%i7) forget(x<=0)$

Por tanto b=1.

Ejercicio 1.4. Calcular la derivada de f en cero por la derecha.

(%i8) assume(x>0)$

(%i9) define(dfp(x),diff(f(x),x,1));

(%i10) limit(df(x), x, 0, plus);

(%i11) forget(x>0)$

Ejercicio 1.5. Calcular el valor de a para el que f es derivable en cero.

(%i12) assume(x<=0)$

(%i13) define(dfm(x),diff(f(x),x,1));

Por tanto, a=1/2.

2 Ejercicio 2

Ejercicio 2. Sea g la función real definida por g(x) = 2*x-sqrt(1+x^2)

(%i14) g(x) := 2*x-sqrt(1+x^2);

Ejercicio 2.1. Calcular los límites de g en +infito y en -infinito.

(%i15) limit(g(x), x, inf);

(%i16) limit(g(x), x, minf);

Ejercicio 2.2. Dibujar la gráfica de la función g.

(%i17) wxplot2d([g(x)], [x,-50,150])$

Ejercicio 2.3. Calcular g'(x)

(%i18) define(dg(x),diff(g(x),x,1));

Ejercicio 2.4. Resolver la ecuación g(x)=0

(%i19) r : find_root(g(x), x, -50, 150);

Ejercicio 2.5. Determinar los intervalos de crecimiento de g.

(%i20) define(dg2(x),diff(g(x),x,2));

(%i21) radcan(%);

(%i22) is(dg2(x)<0);

Por tanto, g es creciente en todo R.

Ejercicio 2.6. Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de g.

(%i23) g(1000),numer; g(10000),numer;

(%i25) limit(g(x)/(a*x+b), x, inf);

(%i26) limit(g(x)/x, x, inf);

(%i27) g(-1000),numer; g(-10000),numer;

(%i29) limit(g(x)/(a*x+b), x, minf);

(%i30) limit(g(x)/(3*x), x, minf);

3 Ejercicio 3

Ejercicio 3.1.1. Desarrollar cos(3t) en función de cos(t).

(%i31) trigexpand(cos(3*t));

(%i32) trigsimp(%);

Ejercicio 3.1.2. Desarrollar cos(4t) en función de cos(t).

(%i33) trigexpand(cos(4*t));

(%i34) trigsimp(%);

Ejercicio 3.1.3. Desarrollar cos(5t) en función de cos(t).

(%i35) trigexpand(cos(5*t));

(%i36) trigsimp(%);

Ejercicio 3.2. Determinar los polinomios Tn de la variable x tales que para
todo t en R, cos(nt) = Tn(cos t) para n en {3,4,5}.

(%i37) T3(x) := 4*x^3- 3*x ;
T4(x) := 8*x^4- 8*x^2+1 ;
T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x ;

Ejercicio 3.3. Representar las funciones T3, T4 y T5 en la misma gráfica.

(%i40) wxplot2d([T3(x), T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$