Curso Práctico de Teoría de Conjuntos
Prólogo
Este libro es fruto y consecuencia de la amplia experiencia docente en
Teoría de Conjuntos que sus autores han desarrollado en las Facultades
de Matemáticas de la Universidad Central de Barcelona y de la
Universidad de Sevilla.
Todos los que hemos impartido tópicos diversos relativos a la Teoría de
Conjuntos, en primer o segundo ciclo universitario, hemos echado de
menos, en mayor o menor medida, un texto en el que apareciera un amplio
espectro de ``problemas resueltos" estructurados de manera
sistemática.
El único libro que conocemos desarrollando parcialmente esos objetivos
es el de L.E. Sigler (Exercises in Set Theory), cuya primera edición data de 1966
(reimpreso en 1972) y se dedica básicamente a proponer y resolver los
problemas del texto Naive Set Theory de P.R. Halmos.
El Curso Práctico de Teoría de Conjuntos que presentamos,
trata de cubrir ese vacío bibliográfico y consideramos que puede ser de
interés tanto para profesores como para alumnos universitarios que
necesiten trabajar con elementos varios de la Teoría de
Conjuntos
(órdenes, funciones, inducción, recursión, ordinales, finitud,
numerabilidad, cardinales, ...). Por tanto, puede ser un buen libro de
consulta sobre estos temas a niveles de primer y/o segundo ciclo
universitario.
El libro consta de doce temas que podríamos denominar básicos y de un
capítulo complementario de recopilación. Los temas básicos están
estructurados en tres partes: la primera está dedicada a
presentar un
breve resumen teórico de los conceptos y resultados más
importantes que
se abordan en el tema; en la segunda parte se describen exhaustivamente
soluciones de problemas relativos al contenido del mismo (en donde
prestamos especial importancia a la presentación misma de la solución);
para
finalizar proponiendo ejercicios, algunos de los cuales aparecen con
indicaciones explícitas que pueden ser de utilidad al lector a
fin de valorar el grado de asimilación del contenido desarrollado hasta
entonces (por cierto, hemos creido interesante incluir
indicaciones en
algunos problemas resueltos que tienen alguna dificultad especial, por
si el lector desea intentar su resolución con la pista que aportamos,
antes de comprobar la solución que se le presenta).
Acerca de los problemas resueltos y propuestos queremos significar que
si bien un gran porcentaje de los mismos aparecen en textos habituales
de Teoría de Conjuntos, muchos otros son originales de los propios
autores.
Hemos considerado oportuno añadir un capítulo complementario dedicado a
problemas de recapitulación, en los cuales suelen utilizarse conceptos y
resultados de diversos temas.
Respecto a los temas relativos a cardinales (10, 11 y 12) hemos de
indicar que se han desarrollado en la teoría de Zermelo-Fraenkel con el
axioma de regularidad y sin el axioma de elección (es decir, en ZF). Los resultados básicos de cardinales podrían obtenerse de manera
más simple prescindiendo del axioma de regularidad y admitiendo
el axioma de elección (es decir, trabajando en la teoría ZFC-,
en donde todo conjunto es bien ordenable). Este ``atajo" es el que
aconsejamos a quienes estudien por vez primera y de manera sistemática
la teoría de cardinales.
Queremos hacer constar nuestro agradecimiento a los profesores A.
Fernández Margarit, A. Riscos Fernández y F.F. Lara Martín, con quienes
hemos compartido tareas docentes en Teoría de Conjuntos, y a A.
Romero
Jiménez por el trabajo dedicado a la revisión del texto y sus atinadas
críticas al mismo.
Si estas páginas consiguen motivar, estimular y aproximar a algún lector
a los problemas de fundamentación de las Matemáticas, con ello nos
daríamos por satisfecho.
Los autores
Sevilla, enero de 1998
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